典例2 解下列方程：
(1)$\frac{1}{x-1}+\frac{x}{1-x}=1$；
(2)$\frac{1}{3}-\frac{2}{2x-1}=\frac{1}{6x-3}$。

解：
(1) 原方程整理得：
$\frac{1}{x-1}-\frac{x}{x-1}=1$
方程两边同乘最简公分母$(x-1)$，去分母得：
$1 - x = x - 1$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，因此$x=1$是原方程的增根，原分式方程无解。
(2) 原方程整理得：
$\frac{1}{3}-\frac{2}{2x-1}=\frac{1}{3(2x-1)}$
方程两边同乘最简公分母$3(2x-1)$，去分母得：
$(2x-1) - 6 = 1$
解得：$x=4$
检验：当$x=4$时，$3(2x-1)=21≠0$，所以$x=4$是原分式方程的解。

典例3 科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务。下面是记者与该集团工程师的一段对话。
记者：“你们是用10天完成4500米长的高架桥铺设任务的？”
工程师：“是的，我们铺设500米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍。”
（1）通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度；
（2）该建筑集团是提前多少天完成铺设任务的？
典例解析
典例1
解 (1)$\frac{4x}{3y} · \frac{y}{2x^3} = \frac{2}{3x^2}$。
(2)$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2 -1} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1+2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x-1}$。
(3)$\frac{x^2 -2xy + y^2}{x^2 +x} · \frac{x+1}{x^2 - y^2} = \frac{(x-y)^2}{x(x+1)} · \frac{x+1}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)} = \frac{x-y}{x^2 + xy}$。
(4)$( \frac{-a}{3b} )^2 · ( \frac{3b}{-c} )^3 ÷ \frac{ab^2}{c^2} = \frac{a^2}{9b^2} · \frac{27b^3}{-c^3} · \frac{c^2}{ab^2} = -\frac{3a}{bc}$。
(5)$( x-1 - \frac{8}{x+1} ) ÷ \frac{x^2 +6x +9}{x+1}$
$= \frac{(x-1)(x+1)-8}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2} = \frac{x-3}{x+3}$。
典例2
解 (1)原方程整理，得$\frac{1}{x-1} - \frac{x}{x-1} =1$，
方程两边乘$(x-1)$，得$1 - x = x -1$。
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
(2)方程两边乘$3(2x-1)$，
得$2x -1 -6 =1$。
解得$x=4$。
检验：当$x=4$时，$3(2x-1)≠0$。
所以，原分式方程的解为$x=4$。

解：(1) 设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为$x$米，则采用新技术后每天铺设的长度为$2x$米。
根据题意，得：
$\frac{500}{x} + \frac{4500 - 500}{2x} = 10$
方程两边同乘$2x$，得：
$1000 + 4000 = 20x$
解得：
$x = 250$
检验：当$x=250$时，$2x ≠ 0$，所以$x=250$是原分式方程的解，且符合题意。
(2) 若全程按原来的速度铺设，所需总天数为：
$\frac{4500}{250} = 18 \mathrm{（天）}$
提前完成的天数为：
$18 - 10 = 8 \mathrm{（天）}$
答：(1) 该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为250米；(2) 该建筑集团是提前8天完成铺设任务的。