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6.已知点A，B，C依次在一条直线上，若$BC=\frac{2}{3}AC$，则$\frac{BC}{AB}$的值为
2
。答案
6.2
解析
【分析】
首先根据题目中“A，B，C依次在一条直线上”的条件，先确定三点的位置顺序为A→B→C，由此可得线段和差关系：总线段AC等于AB与BC的和，即$AC=AB+BC$。题目给出了$BC$与$AC$的比例关系，要求$\frac{BC}{AB}$的值，我们可以用设参数的方法简化计算：把AC设为3份，结合已知条件可得BC为2份，再通过线段和差关系求出AB的份数，最后代入比值计算即可。
【解析】
解：
∵点A，B，C依次在同一条直线上
∴$AC=AB+BC$，即$AB=AC-BC$
设$AC=3k$（$k≠0$）
∵$BC=\frac{2}{3}AC$
∴$BC=\frac{2}{3}×3k=2k$
∴$AB=AC-BC=3k-2k=k$
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{2k}{k}=2$
【答案】
2
【知识点】
线段的和差，线段比值计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先根据三点的排列顺序明确线段间的和差关系，通过设参数的方式可以简化比值计算，降低分数运算的出错概率。
【难度系数】
0.8
首先根据题目中“A，B，C依次在一条直线上”的条件，先确定三点的位置顺序为A→B→C，由此可得线段和差关系：总线段AC等于AB与BC的和，即$AC=AB+BC$。题目给出了$BC$与$AC$的比例关系，要求$\frac{BC}{AB}$的值，我们可以用设参数的方法简化计算：把AC设为3份，结合已知条件可得BC为2份，再通过线段和差关系求出AB的份数，最后代入比值计算即可。
【解析】
解：
∵点A，B，C依次在同一条直线上
∴$AC=AB+BC$，即$AB=AC-BC$
设$AC=3k$（$k≠0$）
∵$BC=\frac{2}{3}AC$
∴$BC=\frac{2}{3}×3k=2k$
∴$AB=AC-BC=3k-2k=k$
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{2k}{k}=2$
【答案】
2
【知识点】
线段的和差，线段比值计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先根据三点的排列顺序明确线段间的和差关系，通过设参数的方式可以简化比值计算，降低分数运算的出错概率。
【难度系数】
0.8
7.如图,已知线段$a,b(a＞b)$。
(1)作一条线段$c$,使它的长度等于$a+b$。
(2)作一条线段$d$,使它的长度等于$a-b$。
(1)作一条线段$c$,使它的长度等于$a+b$。
(2)作一条线段$d$,使它的长度等于$a-b$。
答案
解：
(1) 作法：
① 画射线AE；
② 用圆规在射线AE上从点A开始顺次截取AB = a，BC = b。
线段AC即为所求作的线段c，满足c = a + b。
(2) 作法：
① 画射线OF；
② 用圆规在射线OF上从点O开始截取OM = a；
③ 在线段OM上，从点O开始截取ON = b。
线段NM即为所求作的线段d，满足d = a - b。
(1) 作法：
① 画射线AE；
② 用圆规在射线AE上从点A开始顺次截取AB = a，BC = b。
线段AC即为所求作的线段c，满足c = a + b。
(2) 作法：
① 画射线OF；
② 用圆规在射线OF上从点O开始截取OM = a；
③ 在线段OM上，从点O开始截取ON = b。
线段NM即为所求作的线段d，满足d = a - b。
解析
【分析】
本题考查线段和差的尺规作图，解题核心是掌握尺规作一条线段等于已知线段的基本方法。作线段和时，需将两条线段首尾顺次拼接在同一条射线上，无重叠部分的总长度即为两线段之和；作线段差时（a＞b），先画出较长的线段a，再从a的一端内部截去与b等长的线段，剩余部分的长度即为两线段之差，选择射线作为作图载体是为了方便沿固定方向截取线段。
【解析】
(1) 作线段c=a+b：
① 先画射线AE，确定作图的固定方向；
② 用圆规量取线段a的长度，在射线AE上以A为端点截取AB=a；
③ 再用圆规量取线段b的长度，以B为端点沿射线AE方向顺次截取BC=b，此时A、B、C共线，B在A、C之间。
线段AC的总长就是a与b的和，即为所求线段c。
(2) 作线段d=a-b：
① 先画射线OF，确定作图的固定方向；
② 用圆规量取线段a的长度，在射线OF上以O为端点截取OM=a；
③ 再用圆规量取线段b的长度，以O为端点在线段OM内部截取ON=b，此时N在O、M之间。
线段OM减去ON剩余的NM长度就是a与b的差，即为所求线段d。
【答案】
(1) 作法：
① 画射线AE；
② 用圆规在射线AE上从点A开始顺次截取AB = a，BC = b。
线段AC即为所求作的线段c，满足c = a + b。
(2) 作法：
① 画射线OF；
② 用圆规在射线OF上从点O开始截取OM = a；
③ 在线段OM上，从点O开始截取ON = b。
线段NM即为所求作的线段d，满足d = a - b。
【知识点】
尺规作线段、线段的和差
【点评】
本题是几何作图的基础题型，重点考查尺规作线段的基本操作技能，只要明确线段和、差的几何意义，熟练掌握顺次截取、内部截取的操作方法就能正确解答，是后续学习复杂几何作图的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查线段和差的尺规作图，解题核心是掌握尺规作一条线段等于已知线段的基本方法。作线段和时，需将两条线段首尾顺次拼接在同一条射线上，无重叠部分的总长度即为两线段之和；作线段差时（a＞b），先画出较长的线段a，再从a的一端内部截去与b等长的线段，剩余部分的长度即为两线段之差，选择射线作为作图载体是为了方便沿固定方向截取线段。
【解析】
(1) 作线段c=a+b：
① 先画射线AE，确定作图的固定方向；
② 用圆规量取线段a的长度，在射线AE上以A为端点截取AB=a；
③ 再用圆规量取线段b的长度，以B为端点沿射线AE方向顺次截取BC=b，此时A、B、C共线，B在A、C之间。
线段AC的总长就是a与b的和，即为所求线段c。
(2) 作线段d=a-b：
① 先画射线OF，确定作图的固定方向；
② 用圆规量取线段a的长度，在射线OF上以O为端点截取OM=a；
③ 再用圆规量取线段b的长度，以O为端点在线段OM内部截取ON=b，此时N在O、M之间。
线段OM减去ON剩余的NM长度就是a与b的差，即为所求线段d。
【答案】
(1) 作法：
① 画射线AE；
② 用圆规在射线AE上从点A开始顺次截取AB = a，BC = b。
线段AC即为所求作的线段c，满足c = a + b。
(2) 作法：
① 画射线OF；
② 用圆规在射线OF上从点O开始截取OM = a；
③ 在线段OM上，从点O开始截取ON = b。
线段NM即为所求作的线段d，满足d = a - b。
【知识点】
尺规作线段、线段的和差
【点评】
本题是几何作图的基础题型，重点考查尺规作线段的基本操作技能，只要明确线段和、差的几何意义，熟练掌握顺次截取、内部截取的操作方法就能正确解答，是后续学习复杂几何作图的基础。
【难度系数】
0.8
8. 如图,已知线段$AB=18\ \mathrm{cm}$,延长$AB$至点$C$,使得$BC=\frac{1}{3}AB$。
(1)求$AC$的长。
(2)若$D$是$AB$的中点,$E$是$AC$的中点,求$DE$的长。
(1)求$AC$的长。
(2)若$D$是$AB$的中点,$E$是$AC$的中点,求$DE$的长。
答案
8.(1)24 cm。(2)3 cm。
解析
【分析】
(1) 解题时先根据已知的BC与AB的数量关系求出BC的长度，再结合线段AC是AB与BC的和，代入数值计算即可得到AC的长；
(2) 先根据线段中点的定义，分别求出AD、AE的长度，再观察线段位置可知DE的长度等于AE减去AD，代入计算即可得到DE的长。
【解析】
(1) 已知$AB=18\ \mathrm{cm}$，$BC=\frac{1}{3}AB$，
所以$BC=\frac{1}{3}×18=6\ \mathrm{cm}$，
因为点C在AB的延长线上，所以$AC=AB+BC$，
代入数值得$AC=18+6=24\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为D是AB的中点，根据线段中点的定义，
所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$，
又因为E是AC的中点，同理可得，
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$，
观察线段位置可知$DE=AE-AD$，
代入数值得$DE=12-9=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $24\ \mathrm{cm}$；(2) $3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的核心是理清各线段之间的数量关系，结合已知条件和中点的性质逐步推导计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先根据已知的BC与AB的数量关系求出BC的长度，再结合线段AC是AB与BC的和，代入数值计算即可得到AC的长；
(2) 先根据线段中点的定义，分别求出AD、AE的长度，再观察线段位置可知DE的长度等于AE减去AD，代入计算即可得到DE的长。
【解析】
(1) 已知$AB=18\ \mathrm{cm}$，$BC=\frac{1}{3}AB$，
所以$BC=\frac{1}{3}×18=6\ \mathrm{cm}$，
因为点C在AB的延长线上，所以$AC=AB+BC$，
代入数值得$AC=18+6=24\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为D是AB的中点，根据线段中点的定义，
所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$，
又因为E是AC的中点，同理可得，
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$，
观察线段位置可知$DE=AE-AD$，
代入数值得$DE=12-9=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $24\ \mathrm{cm}$；(2) $3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的核心是理清各线段之间的数量关系，结合已知条件和中点的性质逐步推导计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
9.如图,已知线段AB的长为a,线段CD的长为b,则图中所有线段的长度和为
(第9题)
$3a+b$
。 (第9题)答案
9.$3a+b$
解析
【分析】
解题时首先要明确图中所有线段，避免漏数或多数。已知线段AB、CD的长度，无需单独求解AC、DB等未知线段的长度，可通过将求和的线段拆分重组，用已知线段表示的方式简化计算。首先确定图中有A、C、D、B四个点，对应的所有线段为AC、AD、AB、CD、CB、DB，共6条，再将这些线段分组凑出AB的长度，代入已知条件即可求出总和。
【解析】
第一步：列出图中所有线段：AC、AD、AB、CD、CB、DB。
第二步：对所有线段求和并重新分组：
所有线段长度和 = $AC + AD + AB + CD + CB + DB$
$=(AC + CB) + (AD + DB) + AB + CD$
第三步：根据线段和的定义可知$AC+CB=AB$，$AD+DB=AB$，代入已知$AB=a$，$CD=b$：
原式$=AB + AB + AB + CD$
$=3AB + CD$
$=3a + b$
【答案】
$3a+b$
【知识点】
线段计数、线段的和差运算
【点评】
本题核心考查线段的计数与和差计算，解题关键是正确列举全部线段，利用整体代换的思路将求和式转化为已知线段的组合，避免计算未知线段长度，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确图中所有线段，避免漏数或多数。已知线段AB、CD的长度，无需单独求解AC、DB等未知线段的长度，可通过将求和的线段拆分重组，用已知线段表示的方式简化计算。首先确定图中有A、C、D、B四个点，对应的所有线段为AC、AD、AB、CD、CB、DB，共6条，再将这些线段分组凑出AB的长度，代入已知条件即可求出总和。
【解析】
第一步：列出图中所有线段：AC、AD、AB、CD、CB、DB。
第二步：对所有线段求和并重新分组：
所有线段长度和 = $AC + AD + AB + CD + CB + DB$
$=(AC + CB) + (AD + DB) + AB + CD$
第三步：根据线段和的定义可知$AC+CB=AB$，$AD+DB=AB$，代入已知$AB=a$，$CD=b$：
原式$=AB + AB + AB + CD$
$=3AB + CD$
$=3a + b$
【答案】
$3a+b$
【知识点】
线段计数、线段的和差运算
【点评】
本题核心考查线段的计数与和差计算，解题关键是正确列举全部线段，利用整体代换的思路将求和式转化为已知线段的组合，避免计算未知线段长度，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
10.如图，已知线段AB。
(1)在线段AB上取一点C，使AC：BC=3：2。
(2)求作线段b，使$b=\dfrac{3}{5}AB$。
(1)在线段AB上取一点C，使AC：BC=3：2。
(2)求作线段b，使$b=\dfrac{3}{5}AB$。
答案
解：
(1) 作法：
① 过点A作射线AP，使AP与AB形成锐角；
② 在射线AP上，用圆规顺次截取5条长度相等的线段：$AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$；
③ 连接$A_5B$，过点$A_3$作$A_3C // A_5B$，交AB于点C，点C即为所求，满足$AC:BC=3:2$。
(2) 作法：
任作一条射线OM，以点O为端点，用圆规在射线OM上截取线段$OB' = AC$，所得线段$OB'$就是所求作的线段b，满足$b=\dfrac{3}{5}AB$。
注：按上述步骤作出的图形即为符合要求的结果。
(1) 作法：
① 过点A作射线AP，使AP与AB形成锐角；
② 在射线AP上，用圆规顺次截取5条长度相等的线段：$AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$；
③ 连接$A_5B$，过点$A_3$作$A_3C // A_5B$，交AB于点C，点C即为所求，满足$AC:BC=3:2$。
(2) 作法：
任作一条射线OM，以点O为端点，用圆规在射线OM上截取线段$OB' = AC$，所得线段$OB'$就是所求作的线段b，满足$b=\dfrac{3}{5}AB$。
注：按上述步骤作出的图形即为符合要求的结果。
解析
【分析】
(1) 要得到AC:BC=3:2，相当于把线段AB平均分为5份，AC占3份、BC占2份。我们可以通过作辅助射线等分线段的思路求解：先过A作一条与AB成锐角的射线，在射线上截出5段等长的线段，将第5个截点与B相连，再过第3个截点作该连线的平行线，与AB的交点就是符合要求的C点，可保证分割比例为3:2。
(2) 要求作的$b=\dfrac{3}{5}AB$，由(1)的作图结果可知AC的长度恰好是AB的$\dfrac{3}{5}$，因此只需要用尺规截取和AC等长的线段，即可得到所求的线段b。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 过点A作射线AP，使AP与AB的夹角为锐角；
② 在射线AP上，用圆规顺次截取5条长度相等的线段：$AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$；
③ 连接$A_5B$，过点$A_3$作$A_3C // A_5B$，交AB于点C，点C即为所求。
(2) 作图步骤：
任作一条射线OM，以点O为端点，用圆规在射线OM上截取线段$OB' = AC$，所得线段$OB'$就是所求作的线段b。
【答案】
(1) 作法：①过点A作射线AP，使AP与AB形成锐角；②在射线AP上，用圆规顺次截取5条长度相等的线段：$AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$；③连接$A_5B$，过点$A_3$作$A_3C // A_5B$，交AB于点C，点C即为所求，满足$AC:BC=3:2$。
(2) 作法：任作一条射线OM，以点O为端点，用圆规在射线OM上截取线段$OB' = AC$，所得线段$OB'$就是所求作的线段b，满足$b=\dfrac{3}{5}AB$。
【知识点】
尺规作图、比例线段、线段等分
【点评】
本题是线段相关的基础作图题，核心考查按比例分割线段的操作方法，需要熟练掌握尺规截取等长线段、作平行线的基本技能，解题时可先将比例关系转化为线段份数关系，再结合等分线段的方法完成作图。
【难度系数】
0.7
(1) 要得到AC:BC=3:2，相当于把线段AB平均分为5份，AC占3份、BC占2份。我们可以通过作辅助射线等分线段的思路求解：先过A作一条与AB成锐角的射线，在射线上截出5段等长的线段，将第5个截点与B相连，再过第3个截点作该连线的平行线，与AB的交点就是符合要求的C点，可保证分割比例为3:2。
(2) 要求作的$b=\dfrac{3}{5}AB$，由(1)的作图结果可知AC的长度恰好是AB的$\dfrac{3}{5}$，因此只需要用尺规截取和AC等长的线段，即可得到所求的线段b。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 过点A作射线AP，使AP与AB的夹角为锐角；
② 在射线AP上，用圆规顺次截取5条长度相等的线段：$AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$；
③ 连接$A_5B$，过点$A_3$作$A_3C // A_5B$，交AB于点C，点C即为所求。
(2) 作图步骤：
任作一条射线OM，以点O为端点，用圆规在射线OM上截取线段$OB' = AC$，所得线段$OB'$就是所求作的线段b。
【答案】
(1) 作法：①过点A作射线AP，使AP与AB形成锐角；②在射线AP上，用圆规顺次截取5条长度相等的线段：$AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$；③连接$A_5B$，过点$A_3$作$A_3C // A_5B$，交AB于点C，点C即为所求，满足$AC:BC=3:2$。
(2) 作法：任作一条射线OM，以点O为端点，用圆规在射线OM上截取线段$OB' = AC$，所得线段$OB'$就是所求作的线段b，满足$b=\dfrac{3}{5}AB$。
【知识点】
尺规作图、比例线段、线段等分
【点评】
本题是线段相关的基础作图题，核心考查按比例分割线段的操作方法，需要熟练掌握尺规截取等长线段、作平行线的基本技能，解题时可先将比例关系转化为线段份数关系，再结合等分线段的方法完成作图。
【难度系数】
0.7
11. 如图，点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，BC的中点。
(1)若$CN=\frac{1}{5}AB=2\ \mathrm{cm}$，求线段MN的长度。
(2)若$AC+BC=a(\mathrm{cm})$，其他条件不变，请猜想线段MN的长度，并说明理由。
(1)若$CN=\frac{1}{5}AB=2\ \mathrm{cm}$，求线段MN的长度。
(2)若$AC+BC=a(\mathrm{cm})$，其他条件不变，请猜想线段MN的长度，并说明理由。
答案
11.(1)5 cm。(2)$\frac{1}{2}a$(cm)，理由略。
解析
【分析】
（1）第一问先根据$CN=\frac{1}{5}AB=2\ \mathrm{cm}$求出AB的总长度，再利用线段中点的性质分别求出BC、AC的长度，得到MC的长度后，结合$MN=MC+CN$即可计算结果；也可直接推导中点性质得到$MN=\frac{1}{2}AB$，直接代入AB长度简化计算。
（2）第二问先利用中点性质将MC、CN分别用AC、BC表示，再把MN拆分为MC与CN的和，提取公因式后结合$AC+BC=a$即可推导得出MN的长度。
【解析】
(1) 已知$CN=\frac{1}{5}AB=2\ \mathrm{cm}$，因此$AB=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
因为N是线段BC的中点，所以$BC=2CN=2×2=4\ \mathrm{cm}$，
则$AC=AB-BC=10-4=6\ \mathrm{cm}$。
又因为M是线段AC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$，
因此$MN=MC+CN=3+2=5\ \mathrm{cm}$。
(2) 猜想$MN=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$，理由如下：
因为M是AC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$，
因为N是BC的中点，所以$CN=\frac{1}{2}BC$，
所以$MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$，
又因为$AC+BC=a\ \mathrm{cm}$，代入得$MN=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $5\ \mathrm{cm}$；(2) $\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题重点考察线段中点的性质和线段和差的运算，解题的核心是通过中点转化线段的倍分关系，将待求线段拆解为已知线段的和差形式，第二问的结论可作为通用规律识记，提升同类题的解题速度。
【难度系数】
0.8
（1）第一问先根据$CN=\frac{1}{5}AB=2\ \mathrm{cm}$求出AB的总长度，再利用线段中点的性质分别求出BC、AC的长度，得到MC的长度后，结合$MN=MC+CN$即可计算结果；也可直接推导中点性质得到$MN=\frac{1}{2}AB$，直接代入AB长度简化计算。
（2）第二问先利用中点性质将MC、CN分别用AC、BC表示，再把MN拆分为MC与CN的和，提取公因式后结合$AC+BC=a$即可推导得出MN的长度。
【解析】
(1) 已知$CN=\frac{1}{5}AB=2\ \mathrm{cm}$，因此$AB=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
因为N是线段BC的中点，所以$BC=2CN=2×2=4\ \mathrm{cm}$，
则$AC=AB-BC=10-4=6\ \mathrm{cm}$。
又因为M是线段AC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$，
因此$MN=MC+CN=3+2=5\ \mathrm{cm}$。
(2) 猜想$MN=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$，理由如下：
因为M是AC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$，
因为N是BC的中点，所以$CN=\frac{1}{2}BC$，
所以$MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$，
又因为$AC+BC=a\ \mathrm{cm}$，代入得$MN=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $5\ \mathrm{cm}$；(2) $\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题重点考察线段中点的性质和线段和差的运算，解题的核心是通过中点转化线段的倍分关系，将待求线段拆解为已知线段的和差形式，第二问的结论可作为通用规律识记，提升同类题的解题速度。
【难度系数】
0.8
