1. 在$\odot O$中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连结CD。如图，若点D与圆心O不重合，$∠ BAC=26°$，则$∠ ACD$的度数为。
（第1题）

1. 38°

【分析】
解题时首先利用直径的性质求∠B的度数，再结合翻折的性质推导∠ADC的度数，最后用三角形内角和计算∠ACD。第一步：AB是直径，根据“直径所对的圆周角为直角”得∠ACB=90°，结合已知∠BAC=26°，可算出∠B=64°；第二步：劣弧AC沿AC翻折后弧的度数不变，翻折后的弧AC所对的圆周角∠ADC与原劣弧AC所对的圆周角∠B互补，因此可得∠ADC=180°-64°=116°；第三步：在△ADC中，利用三角形内角和为180°，减去已知的∠BAC和∠ADC的度数，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=26°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-26°=64°，
∵劣弧AC沿弦AC翻折后交AB于点D，翻折前后弧的度数不变，
∴翻折后的弧AC所对的圆周角∠ADC与原劣弧AC所对的圆周角∠B互补，即∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°-64°=116°，
在△ADC中，∠ACD=180°-∠BAC-∠ADC=180°-26°-116°=38°。
【答案】
38°
【知识点】
圆周角定理，翻折的性质，三角形内角和
【点评】
本题将圆的性质与翻折变换结合，解题的关键是抓住翻折前后弧的度数不变，结合圆周角的相关性质找到角之间的数量关系，再利用三角形内角和求解，能很好地考查对图形变换和圆性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

2. 如图，AB为$\odot O$的直径，且$AB=4$，弦$CD⊥ AB$于点$E$，将$\overset{\frown}{CBD}$沿$CD$翻折后交$AB$于点$F$，若点$F$为$AO$的中点，则$CD=$。

2. $\sqrt{15}$

【分析】
解题思路如下：第一步，先明确已知条件：AB是直径长为4，因此圆的半径为2，F是AO中点可得OF长度为1；第二步，利用翻折的性质，翻折前后图形关于折痕CD对称，且CD垂直AB，因此F的对称点在AB上且落在原圆上，可推出EF=EB的等量关系；第三步，设OE长度为x，列方程求出x的值；第四步，结合垂径定理，在直角三角形OCE中用勾股定理求出CE长度，乘以2即可得到CD的长。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，$AB=4$
∴$\odot O$的半径$OC=OA=OB=2$
∵F为AO的中点
∴$OF=\frac{1}{2}OA=1$
∵$\overset{\frown}{CBD}$沿CD翻折后交AB于F，且$CD⊥ AB$
∴点F与点B关于直线CD对称，即$EF=EB$
设$OE=x$，则$EF=OF+OE=1+x$，$EB=OB-OE=2-x$
列方程得：$1+x=2-x$，解得$x=\frac{1}{2}$
由垂径定理得$CD=2CE$，且$△ OCE$为直角三角形
在$Rt△ OCE$中：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{2^2-(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{4-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$
∴$CD=2CE=2×\frac{\sqrt{15}}{2}=\sqrt{15}$
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
垂径定理，翻折的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与图形变换结合的基础综合题，解题的核心是抓住翻折的对称性找到线段等量关系，再结合圆的性质和勾股定理求解，能较好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65

3. (2026·杭州月考)如图,已知AB是$\odot O$的直径,点C为圆上一点.将$\overset{\frown}{BC}$沿弦BC翻折,交AB于点D,把$\overset{\frown}{BD}$沿直径AB翻折,交BC于点E,过点D作$DF⊥ BC$,点E恰好是翻折后的$\overset{\frown}{BD}$的中点,则$∠ ABC$的度数为________,$\frac{BF}{CF}$的值为________.

3. $22.5°\ \ \sqrt{2}+1$ 解析:
∵ $\overset{\frown}{AC},\overset{\frown}{CD},\overset{\frown}{DE}$所在的圆是等圆,$\overset{\frown}{AC},\overset{\frown}{CD},\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角都是$∠ ABC$,
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$.
∵ 点 E 恰好是翻折后的$\overset{\frown}{BD}$的中点,
∴ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$,
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$.
∵ $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AB}$,
∴ $\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{4}\overset{\frown}{AB}$,
∴ $∠ ABC=90°×\frac{1}{4}=22.5°$.如,连结 CD,DE,
∵ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$,
∴ $DE=BE$,
∴ $∠ EDB=∠ EBD=22.5°$.
∵ $\overset{\frown}{BD}$的度数为$90°$,
∴ $∠ BCD=45°$,
∴ $∠ FED=∠ EDB+∠ EBD=45°$.
∵ $DF⊥ BC$,
∴ $△ DCF,△ DEF$都是等腰直角三角形,
∴ $CF=DF=EF$,
设 $CF=DF=EF=x$,则 $BE=DE=\sqrt{DF^2+EF^2}=\sqrt{2}x$,
∴ $BF=BE+FE=(\sqrt{2}+1)x$,
∴ $\frac{BF}{CF}=\frac{(\sqrt{2}+1)x}{x}=\sqrt{2}+1$.

【分析】
解题首先利用翻折的性质，可知翻折后弧所在的圆与原圆是等圆，相等圆周角所对的弧长相等，结合E是翻折后$\overset{\frown}{BD}$的中点，可得到四段相等的弧，再结合AB是直径，半圆弧对应的圆周角为90°，即可求出$∠ABC$的度数；求$\frac{BF}{CF}$时，连接CD、DE，通过等弧推导等角，进而得到等腰直角三角形，设参数表示各边长度即可求出比值。
【解析】
∵ $\overset{\frown}{AC},\overset{\frown}{CD},\overset{\frown}{DE}$所在的圆是等圆，$\overset{\frown}{AC},\overset{\frown}{CD},\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角都是$∠ABC$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$。
∵ 点E恰好是翻折后的$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$。
∵ $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AB}$，AB是直径，$\overset{\frown}{AB}$对应的圆周角为90°，
∴ $∠ABC=90°×\frac{1}{4}=22.5°$。
，连结CD，DE，
∵ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ $DE=BE$，
∴ $∠EDB=∠EBD=22.5°$。
∵ $\overset{\frown}{BD}$的度数为$90°$，
∴ $∠BCD=45°$，
∴ $∠FED=∠EDB+∠EBD=45°$。
∵ $DF⊥BC$，
∴ $△DCF,△DEF$都是等腰直角三角形，
∴ $CF=DF=EF$，
设 $CF=DF=EF=x$，则 $BE=DE=\sqrt{DF^2+EF^2}=\sqrt{2}x$，
∴ $BF=BE+FE=(\sqrt{2}+1)x$，
∴ $\frac{BF}{CF}=\frac{(\sqrt{2}+1)x}{x}=\sqrt{2}+1$。
【答案】
$22.5°$；$\sqrt{2}+1$
【知识点】
圆周角定理，翻折的性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了圆的性质与图形翻折的特点，解题核心是通过翻折性质找到相等的弧，进而推导角度关系，再结合特殊三角形的边长关系求解比值，对图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

4. 在等边$△ ABC$中，$AB=4$，以点$A$为圆心，2为半径画$60°$的$\overset{\frown}{DE}$。
(1)【特例感知】如图①，当点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上时，$BD$与$CE$的数量关系为。
(2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形$EAD$绕点$A$转动，在旋转过程中，上述(1)的数量关系还存在吗？请说明理由。
(3)【思维拓展】如图②，在扇形$EAD$的旋转过程中，当$B$，$E$，$D$三点共线时，$CE$的长为。

4. (1) $BD = CE$ 解析:
∵ $△ ABC$ 是等边三角形,
∴ $AB = AC$.
∵ $AD=AE$,
∴ $AB-AD=AC-AE$,
∴ $BD=CE$.
(2)存在. 理由:
∵ $△ ABC$ 是等边三角形,
∴ $AB=AC,∠ BAC=60°$.
∵ $\overset{\frown}{DE}$的度数为$60°$,
∴ $∠ DAE=60°$,
∴ $∠ BAC=∠ DAE$,
∴ $∠ BAD=∠ CAE$.
∵ $AD=AE$,
∴ $△ BAD≌△ CAE$,
∴ $BD=CE$.
(3)$\sqrt{13}±1$ 解析:当旋转到AB右侧时,如,作$AH⊥ DE$于点H,
∵ $∠ DAE=60°$,$AD=AE$,
∴ $△ ADE$ 是等边三角形,
∴ $DE=AE=AD=2$,$∠ EAH=30°$,
∴ $EH=DH=1$,
∴ $AH=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
∴ $BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13}$,
∴ $BD=\sqrt{13}+1$,由(2)得 $BD=CE$,
∴ $CE=\sqrt{13}+1$;当旋转到AB左侧时,如,作$AH⊥ DE$于点 H,同理可求 $BD=CE=\sqrt{13}-1$.综上可知,$CE$ 的长为$\sqrt{13}±1$.

【分析】
(1) 第一问是特殊位置下的线段关系推导，已知等边$△ ABC$边长相等，弧$DE$的半径$AD=AE$，直接通过线段作差即可得到$BD$和$CE$的数量关系。
(2) 第二问是旋转后的一般情况，要判断原数量关系是否成立，可通过证明两条线段所在三角形全等求解：利用等边三角形性质得$AB=AC$、$∠ BAC=60°$，结合弧的度数得$∠ DAE=60°$，推导得出$∠ BAD=∠ CAE$，再结合$AD=AE$用SAS判定$△ BAD≌△ CAE$，即可得结论。
(3) 第三问需分类讨论$B、E、D$共线的两种位置：过$A$作$DE$的垂线，先利用等边$△ ADE$的性质求出高$AH$和$EH$的长度，再用勾股定理求出$BH$的长度，结合共线的位置得到$BD$的长度，最后利用第二问的全等结论$CE=BD$即可求出结果，注意不要漏解。
【解析】
(1) $\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC=4$，
$\because \overset{\frown}{DE}$以$A$为圆心，半径为2，
$\therefore AD=AE=2$，
$\therefore AB-AD=AC-AE$，即$BD=CE$。
(2) 存在，理由如下：
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC,∠ BAC=60°$，
$\because \overset{\frown}{DE}$的度数为$60°$，
$\therefore ∠ DAE=60°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC-∠ BAE=∠ DAE-∠ BAE$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAD=∠ CAE \\AD=AE\end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CE$，故(1)的数量关系仍然成立。
(3) 分两种情况讨论：
① 当扇形旋转到$AB$右侧时，如，过点$A$作$AH⊥ DE$于点$H$，
$\because ∠ DAE=60°,AD=AE=2$，
$\therefore △ ADE$是等边三角形，
$\therefore DE=2,EH=DH=1$，
在$\mathrm{Rt}△ AHE$中，$AH=\sqrt{AE^2-EH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{13}$，
此时$BD=BH+HD=\sqrt{13}+1$，由(2)得$CE=BD$，即$CE=\sqrt{13}+1$；
② 当扇形旋转到$AB$左侧时，如，过点$A$作$AH⊥ DE$于点$H$，
同理可得$AH=\sqrt{3},BH=\sqrt{13}$，此时$BD=BH-HD=\sqrt{13}-1$，
由(2)得$CE=BD$，即$CE=\sqrt{13}-1$。
综上，$CE$的长为$\sqrt{13}\pm1$。
【答案】
(1) $BD = CE$
(2) 存在，理由见解析
(3) $\sqrt{13}\pm1$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质
【点评】
本题以等边三角形和扇形旋转为背景，综合考查了全等三角形证明、勾股定理应用等知识，第三问需要分类讨论三点共线的不同位置，避免漏解，能有效锻炼几何综合分析能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.6