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1.如图，P为$\odot O$外一点，PA和PB为$\odot O$的两条切线，A，B为切点，BC为$\odot O$的直径，连接AC，PO。如果$∠ C=58°$，那么$∠ APO=$（）
A.$20°$
B.$22°$
C.$32°$
D.$36°$
A.$20°$
B.$22°$
C.$32°$
D.$36°$
答案
C
解析
【分析】
拿到这道题我们可以按以下思路思考：首先，题目给出了圆周角∠C的度数，我们可以通过圆周角定理先求出同弧对应的圆心角∠AOB的度数；其次，已知PA、PB是圆的两条切线，根据切线长定理，PO会平分∠AOB，由此可以求出∠AOP的度数；最后，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可知△PAO是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠APO的度数。
【解析】
解：连接OA，
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴ ∠AOB = 2∠ACB = 2×58° = 116°。
2. 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条半径的夹角，
∵ PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴ PO平分∠AOB，即$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×116°=58°$。
3. 根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，
∵ PA是⊙O的切线，OA为⊙O的半径，
∴ OA⊥PA，即∠PAO = 90°。
4. 在Rt△PAO中，两锐角互余，
∴ ∠APO = 90° - ∠AOP = 90° - 58° = 32°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，切线长定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，重点考查圆的核心性质和切线相关定理的应用，熟练掌握各定理的适用场景是快速解题的关键，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
拿到这道题我们可以按以下思路思考：首先，题目给出了圆周角∠C的度数，我们可以通过圆周角定理先求出同弧对应的圆心角∠AOB的度数；其次，已知PA、PB是圆的两条切线，根据切线长定理，PO会平分∠AOB，由此可以求出∠AOP的度数；最后，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可知△PAO是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠APO的度数。
【解析】
解：连接OA，
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴ ∠AOB = 2∠ACB = 2×58° = 116°。
2. 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条半径的夹角，
∵ PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴ PO平分∠AOB，即$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×116°=58°$。
3. 根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，
∵ PA是⊙O的切线，OA为⊙O的半径，
∴ OA⊥PA，即∠PAO = 90°。
4. 在Rt△PAO中，两锐角互余，
∴ ∠APO = 90° - ∠AOP = 90° - 58° = 32°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，切线长定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，重点考查圆的核心性质和切线相关定理的应用，熟练掌握各定理的适用场景是快速解题的关键，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
2.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=35°，则∠P=°。
答案
$\boldsymbol{70}$
解析
【分析】
解题时首先回忆切线的相关性质：1. 圆的切线垂直于过切点的半径，因此PA⊥AC，可先求出∠PAB的度数；2. 切线长定理可知从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，即PA=PB，△PAB为等腰三角形，两底角相等，最后结合三角形内角和即可求出∠P的度数。
【解析】
∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴PA⊥AC，即∠PAC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠PAB=∠PAC - ∠BAC=90°-35°=55°，
又
∵PA、PB都是⊙O的切线，A、B为切点，
根据切线长定理可得PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=55°，
在△PAB中，由三角形内角和为180°得：
∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-55°-55°=70°。
【答案】
70
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内角和
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，解题的核心是熟练运用切线的性质和切线长定理，结合三角形内角和公式即可快速求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆切线的相关性质：1. 圆的切线垂直于过切点的半径，因此PA⊥AC，可先求出∠PAB的度数；2. 切线长定理可知从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，即PA=PB，△PAB为等腰三角形，两底角相等，最后结合三角形内角和即可求出∠P的度数。
【解析】
∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴PA⊥AC，即∠PAC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠PAB=∠PAC - ∠BAC=90°-35°=55°，
又
∵PA、PB都是⊙O的切线，A、B为切点，
根据切线长定理可得PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=55°，
在△PAB中，由三角形内角和为180°得：
∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-55°-55°=70°。
【答案】
70
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内角和
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，解题的核心是熟练运用切线的性质和切线长定理，结合三角形内角和公式即可快速求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
3.如图，四边形ABCD与⊙O分别相切于点E，F，G，H，且四边形ABCD的周长为44。若AD=12，则BC的长为。
答案
解：根据切线长定理，可得：
AE = AF，BF = BG，CG = CH，DH = DE。
∴ AB + CD = AF + BF + CH + DH = AE + BG + CG + DE = AD + BC。
∵ 四边形ABCD的周长为44，
∴ AB + BC + CD + AD = 44，
即 2(AD + BC) = 44，
∴ AD + BC = 22。
∵ AD = 12，
∴ BC = 22 - 12 = 10。
AE = AF，BF = BG，CG = CH，DH = DE。
∴ AB + CD = AF + BF + CH + DH = AE + BG + CG + DE = AD + BC。
∵ 四边形ABCD的周长为44，
∴ AB + BC + CD + AD = 44，
即 2(AD + BC) = 44，
∴ AD + BC = 22。
∵ AD = 12，
∴ BC = 22 - 12 = 10。
解析
【分析】
遇到圆的外切四边形相关计算问题，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以将四边形的四条边按切点拆分为8条切线段，将相等的切线段对应替换后，可推导出圆外切四边形的两组对边之和相等，再结合已知的四边形周长和AD的长度，就能求出BC的长度。
【解析】
根据切线长定理，可得：$AE = AF$，$BF = BG$，$CG = CH$，$DH = DE$。
∴ $AB + CD = AF + BF + CH + DH = AE + BG + CG + DE = (AE + DE) + (BG + CG) = AD + BC$。
∵ 四边形ABCD的周长为44，
∴ $AB + BC + CD + AD = 44$，
将$AB+CD=AD+BC$代入上式，可得：$2(AD + BC) = 44$，
∴ $AD + BC = 22$。
又
∵ $AD = 12$，
∴ $BC = 22 - 12 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
1.切线长定理 2.圆外切四边形性质 3.周长计算
【点评】
本题是圆外切四边形性质的基础应用题，解题核心是利用切线长定理推导出“圆外切四边形对边和相等”的结论，再结合周长条件即可快速求解，熟练掌握切线长定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
遇到圆的外切四边形相关计算问题，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以将四边形的四条边按切点拆分为8条切线段，将相等的切线段对应替换后，可推导出圆外切四边形的两组对边之和相等，再结合已知的四边形周长和AD的长度，就能求出BC的长度。
【解析】
根据切线长定理，可得：$AE = AF$，$BF = BG$，$CG = CH$，$DH = DE$。
∴ $AB + CD = AF + BF + CH + DH = AE + BG + CG + DE = (AE + DE) + (BG + CG) = AD + BC$。
∵ 四边形ABCD的周长为44，
∴ $AB + BC + CD + AD = 44$，
将$AB+CD=AD+BC$代入上式，可得：$2(AD + BC) = 44$，
∴ $AD + BC = 22$。
又
∵ $AD = 12$，
∴ $BC = 22 - 12 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
1.切线长定理 2.圆外切四边形性质 3.周长计算
【点评】
本题是圆外切四边形性质的基础应用题，解题核心是利用切线长定理推导出“圆外切四边形对边和相等”的结论，再结合周长条件即可快速求解，熟练掌握切线长定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB为$\odot O$的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与$\odot O$相切，切点分别为C，D。若$AB=6$，$PC=4$，则CD的长为。
（第4题）
（第4题）答案
$\boldsymbol{\dfrac{24}{5}}$
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：①先根据直径长度求出圆的半径OC=3，结合切线的性质得到OC⊥PC，在Rt△OCP中用勾股定理算出OP的长；②根据切线长定理可得PC=PD，结合OC=OD可知OP垂直平分CD，即CD=2CE（E为CD与OP的交点）；③利用△OCP面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、底OP乘高CE的一半）求出CE的长度，即可得到CD的长。
【解析】
连接OC，设CD与OP交于点E。
∵AB为⊙O的直径，AB=6，
∴半径$OC=\frac{1}{2}AB=3$。
∵PC是⊙O的切线，切点为C，
∴$OC⊥ PC$，即$∠ OCP=90°$。
在$Rt△ OCP$中，$OC=3$，$PC=4$，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OC^2+PC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵PC、PD均为⊙O的切线，
∴$PC=PD$，又$OC=OD$，
∴OP垂直平分CD，即$OP⊥ CD$，$CE=DE=\frac{1}{2}CD$。
△OCP的面积可表示为两种形式：
$S_{△ OCP}=\frac{1}{2}· OC· PC=\frac{1}{2}· OP· CE$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
∴$CD=2CE=2×\frac{12}{5}=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，切线长定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线相关定理的应用，解题的关键是结合垂直平分线的性质，利用面积法求线段长度，能很好地锻炼几何综合运算能力。
【难度系数】
0.65
解题可按以下思路推进：①先根据直径长度求出圆的半径OC=3，结合切线的性质得到OC⊥PC，在Rt△OCP中用勾股定理算出OP的长；②根据切线长定理可得PC=PD，结合OC=OD可知OP垂直平分CD，即CD=2CE（E为CD与OP的交点）；③利用△OCP面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、底OP乘高CE的一半）求出CE的长度，即可得到CD的长。
【解析】
连接OC，设CD与OP交于点E。
∵AB为⊙O的直径，AB=6，
∴半径$OC=\frac{1}{2}AB=3$。
∵PC是⊙O的切线，切点为C，
∴$OC⊥ PC$，即$∠ OCP=90°$。
在$Rt△ OCP$中，$OC=3$，$PC=4$，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OC^2+PC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵PC、PD均为⊙O的切线，
∴$PC=PD$，又$OC=OD$，
∴OP垂直平分CD，即$OP⊥ CD$，$CE=DE=\frac{1}{2}CD$。
△OCP的面积可表示为两种形式：
$S_{△ OCP}=\frac{1}{2}· OC· PC=\frac{1}{2}· OP· CE$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
∴$CD=2CE=2×\frac{12}{5}=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，切线长定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线相关定理的应用，解题的关键是结合垂直平分线的性质，利用面积法求线段长度，能很好地锻炼几何综合运算能力。
【难度系数】
0.65
5.如图，AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于点E，F，G，且$AB// CD$。若$BO=6$，$CO=8$，则$BE+GC=$。
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据切线的性质，结合切线长定理可得OB平分∠ABC、OC平分∠BCD，且BE=BF、GC=CF；2. 由AB//CD可得同旁内角互补，进而推出∠OBC+∠OCB=90°，判断△BOC为直角三角形；3. 用勾股定理计算BC的长度；4. 利用线段的等量代换，将BE+GC转化为BC的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB、BC、CD分别与$\odot O$相切于E、F、G，
根据切线长定理可得：OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，且$BE=BF$，$GC=CF$，
又
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180°=90°$，
∴$∠ BOC=90°$，即$△ BOC$为直角三角形，
在$Rt△ BOC$中，$BO=6$，$CO=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BO^2 + CO^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36+64}=10$，
∵$BE=BF$，$GC=CF$，
∴$BE + GC = BF + CF = BC = 10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的切线性质与三角形计算结合的常规题型，解题的核心是通过切线性质推出直角三角形，再利用切线长定理完成线段的转化，解题时要注意角平分线、平行线性质的结合运用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先根据切线的性质，结合切线长定理可得OB平分∠ABC、OC平分∠BCD，且BE=BF、GC=CF；2. 由AB//CD可得同旁内角互补，进而推出∠OBC+∠OCB=90°，判断△BOC为直角三角形；3. 用勾股定理计算BC的长度；4. 利用线段的等量代换，将BE+GC转化为BC的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB、BC、CD分别与$\odot O$相切于E、F、G，
根据切线长定理可得：OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，且$BE=BF$，$GC=CF$，
又
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180°=90°$，
∴$∠ BOC=90°$，即$△ BOC$为直角三角形，
在$Rt△ BOC$中，$BO=6$，$CO=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BO^2 + CO^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36+64}=10$，
∵$BE=BF$，$GC=CF$，
∴$BE + GC = BF + CF = BC = 10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的切线性质与三角形计算结合的常规题型，解题的核心是通过切线性质推出直角三角形，再利用切线长定理完成线段的转化，解题时要注意角平分线、平行线性质的结合运用。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，AC是$\odot O$的直径，连接CB，OP，OP交AB于点D。
(1)求证：$OP // CB$。
(2)求证：$2OA^2 = OP · BC$。
(1)求证：$OP // CB$。
(2)求证：$2OA^2 = OP · BC$。
答案
证明：
(1) ∵ PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴ PA = PB，OP平分∠APB，
∴ OP ⊥ AB，即∠ADO = 90°。
∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC = 90°，即BC ⊥ AB。
∴ OP // CB。
(2) ∵ PA是⊙O的切线，
∴ OA ⊥ PA，即∠PAO = 90°。
由(1)知OP // CB，∴ ∠AOP = ∠ACB。
又∵ ∠PAO = ∠ABC = 90°，
∴ △PAO ∽ △ABC。
∴ $\frac{OA}{BC} = \frac{OP}{AC}$，
即 $OA · AC = OP · BC$。
∵ AC是⊙O的直径，∴ AC = 2OA，
代入得 $OA · 2OA = OP · BC$，
即 $2OA^2 = OP · BC$。
(1) ∵ PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴ PA = PB，OP平分∠APB，
∴ OP ⊥ AB，即∠ADO = 90°。
∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC = 90°，即BC ⊥ AB。
∴ OP // CB。
(2) ∵ PA是⊙O的切线，
∴ OA ⊥ PA，即∠PAO = 90°。
由(1)知OP // CB，∴ ∠AOP = ∠ACB。
又∵ ∠PAO = ∠ABC = 90°，
∴ △PAO ∽ △ABC。
∴ $\frac{OA}{BC} = \frac{OP}{AC}$，
即 $OA · AC = OP · BC$。
∵ AC是⊙O的直径，∴ AC = 2OA，
代入得 $OA · 2OA = OP · BC$，
即 $2OA^2 = OP · BC$。
解析
【分析】
(1) 要证$OP// CB$，可证明两条直线垂直于同一条直线：首先根据切线长定理可得$PA=PB$、$OP$平分$∠ APB$，结合等腰三角形三线合一的性质得$OP⊥ AB$；再根据直径所对圆周角为直角，得$BC⊥ AB$，即可推出两直线平行。
(2) 要证等积式$2OA^2 = OP · BC$，可通过相似三角形对应边成比例推导：首先根据切线的性质得$∠ PAO=90°$，结合(1)的平行结论得$∠ AOP=∠ ACB$，即可证明$△ PAO∽△ ABC$，得到对应边比例关系，再将$AC=2OA$代入比例式整理即可得证。
【解析】
(1) $\because$ PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，
$\therefore PA = PB$，OP平分$∠ APB$，
$\therefore OP ⊥ AB$，即$∠ ADO = 90°$。
$\because$ AC是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ABC = 90°$，即$BC ⊥ AB$。
$\therefore OP // CB$。
(2) $\because$ PA是$\odot O$的切线，
$\therefore OA ⊥ PA$，即$∠ PAO = 90°$。
由(1)知$OP // CB$，$\therefore ∠ AOP = ∠ ACB$。
又$\because ∠ PAO = ∠ ABC = 90°$，
$\therefore △ PAO ∽ △ ABC$。
$\therefore \frac{OA}{BC} = \frac{OP}{AC}$，
即 $OA · AC = OP · BC$。
$\because$ AC是$\odot O$的直径，$\therefore AC = 2OA$，
代入得 $OA · 2OA = OP · BC$，
即 $2OA^2 = OP · BC$。
【答案】
(1) 证明成立，$OP// CB$；
(2) 证明成立，$2OA^2 = OP · BC$。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与几何证明结合的典型综合题，解题核心是利用圆的切线、圆周角相关性质推导平行关系，再通过相似三角形将等积式转化为比例式求解，需要熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.65
(1) 要证$OP// CB$，可证明两条直线垂直于同一条直线：首先根据切线长定理可得$PA=PB$、$OP$平分$∠ APB$，结合等腰三角形三线合一的性质得$OP⊥ AB$；再根据直径所对圆周角为直角，得$BC⊥ AB$，即可推出两直线平行。
(2) 要证等积式$2OA^2 = OP · BC$，可通过相似三角形对应边成比例推导：首先根据切线的性质得$∠ PAO=90°$，结合(1)的平行结论得$∠ AOP=∠ ACB$，即可证明$△ PAO∽△ ABC$，得到对应边比例关系，再将$AC=2OA$代入比例式整理即可得证。
【解析】
(1) $\because$ PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，
$\therefore PA = PB$，OP平分$∠ APB$，
$\therefore OP ⊥ AB$，即$∠ ADO = 90°$。
$\because$ AC是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ABC = 90°$，即$BC ⊥ AB$。
$\therefore OP // CB$。
(2) $\because$ PA是$\odot O$的切线，
$\therefore OA ⊥ PA$，即$∠ PAO = 90°$。
由(1)知$OP // CB$，$\therefore ∠ AOP = ∠ ACB$。
又$\because ∠ PAO = ∠ ABC = 90°$，
$\therefore △ PAO ∽ △ ABC$。
$\therefore \frac{OA}{BC} = \frac{OP}{AC}$，
即 $OA · AC = OP · BC$。
$\because$ AC是$\odot O$的直径，$\therefore AC = 2OA$，
代入得 $OA · 2OA = OP · BC$，
即 $2OA^2 = OP · BC$。
【答案】
(1) 证明成立，$OP// CB$；
(2) 证明成立，$2OA^2 = OP · BC$。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与几何证明结合的典型综合题，解题核心是利用圆的切线、圆周角相关性质推导平行关系，再通过相似三角形将等积式转化为比例式求解，需要熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.65
