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甲、乙、丙、丁四名同学共有 45 元钱，若甲的钱增加 2 元，乙的钱减少 2 元，丙的钱变成原来的 2 倍，丁的钱变为原来的$\frac{1}{2}$，则这四名同学的钱数相同，甲、乙、丙、丁各有多少钱？
解 设四名同学相同的钱数为$x$元，则甲有$(x-2)$元，乙有$(x+2)$元，丙有$\frac{x}{2}$元，丁有$2x$元。
根据题意，得$(x-2)+(x+2)+\frac{x}{2}+2x=45$。
解得$x=10$，
所以$x-2=8$，$x+2=12$，$\frac{x}{2}=5$，$2x=20$。
答：甲有 8 元，乙有 12 元，丙有 5 元，丁有 20 元。
解 设四名同学相同的钱数为$x$元，则甲有$(x-2)$元，乙有$(x+2)$元，丙有$\frac{x}{2}$元，丁有$2x$元。
根据题意，得$(x-2)+(x+2)+\frac{x}{2}+2x=45$。
解得$x=10$，
所以$x-2=8$，$x+2=12$，$\frac{x}{2}=5$，$2x=20$。
答：甲有 8 元，乙有 12 元，丙有 5 元，丁有 20 元。
答案
解：设四名同学钱数相同时的金额为$x$元，
则甲原有$(x-2)$元，乙原有$(x+2)$元，丙原有$\frac{x}{2}$元，丁原有$2x$元。
根据题意列方程：
$(x-2)+(x+2)+\frac{x}{2}+2x=45$
合并同类项，得$\frac{9}{2}x=45$，
系数化为1，得$x=10$。
所以$x-2=8$，$x+2=12$，$\frac{x}{2}=5$，$2x=20$。
答：甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
则甲原有$(x-2)$元，乙原有$(x+2)$元，丙原有$\frac{x}{2}$元，丁原有$2x$元。
根据题意列方程：
$(x-2)+(x+2)+\frac{x}{2}+2x=45$
合并同类项，得$\frac{9}{2}x=45$，
系数化为1，得$x=10$。
所以$x-2=8$，$x+2=12$，$\frac{x}{2}=5$，$2x=20$。
答：甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
解析
【分析】
本题是和差倍分类的应用题，解题核心是利用“四人钱数变化后相等”的条件，采用间接设元法简化计算：先设变化后相同的钱数为未知数x，再反向推导四人原来的钱数：甲增加2元后为x，因此甲原有(x-2)元；乙减少2元后为x，因此乙原有(x+2)元；丙的钱扩大为原来2倍后为x，因此丙原有$\frac{x}{2}$元；丁的钱变为原来的$\frac{1}{2}$后为x，因此丁原有2x元。最后根据“四人总钱数为45元”的等量关系列方程，求解出x后代入各式即可得到四人各自的钱数。
【解析】
解：设四名同学钱数相同时的金额为$x$元，
则甲原有$(x-2)$元，乙原有$(x+2)$元，丙原有$\frac{x}{2}$元，丁原有$2x$元。
根据题意列方程：
$(x-2)+(x+2)+\frac{x}{2}+2x=45$
合并同类项，得$\frac{9}{2}x=45$，
系数化为1，得$x=10$。
所以甲原有钱数：$x-2=10-2=8$（元），
乙原有钱数：$x+2=10+2=12$（元），
丙原有钱数：$\frac{x}{2}=\frac{10}{2}=5$（元），
丁原有钱数：$2x=2×10=20$（元）。
答：甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
【答案】
甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
【知识点】
一元一次方程的应用，间接设元法，解一元一次方程
【点评】
本题采用间接设未知数的方法可大幅简化计算，解题关键是找准变化后相同的钱数这个中间量，准确梳理各个人原有钱数和中间量的数量关系，抓住总钱数不变的等量关系列方程即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是和差倍分类的应用题，解题核心是利用“四人钱数变化后相等”的条件，采用间接设元法简化计算：先设变化后相同的钱数为未知数x，再反向推导四人原来的钱数：甲增加2元后为x，因此甲原有(x-2)元；乙减少2元后为x，因此乙原有(x+2)元；丙的钱扩大为原来2倍后为x，因此丙原有$\frac{x}{2}$元；丁的钱变为原来的$\frac{1}{2}$后为x，因此丁原有2x元。最后根据“四人总钱数为45元”的等量关系列方程，求解出x后代入各式即可得到四人各自的钱数。
【解析】
解：设四名同学钱数相同时的金额为$x$元，
则甲原有$(x-2)$元，乙原有$(x+2)$元，丙原有$\frac{x}{2}$元，丁原有$2x$元。
根据题意列方程：
$(x-2)+(x+2)+\frac{x}{2}+2x=45$
合并同类项，得$\frac{9}{2}x=45$，
系数化为1，得$x=10$。
所以甲原有钱数：$x-2=10-2=8$（元），
乙原有钱数：$x+2=10+2=12$（元），
丙原有钱数：$\frac{x}{2}=\frac{10}{2}=5$（元），
丁原有钱数：$2x=2×10=20$（元）。
答：甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
【答案】
甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
【知识点】
一元一次方程的应用，间接设元法，解一元一次方程
【点评】
本题采用间接设未知数的方法可大幅简化计算，解题关键是找准变化后相同的钱数这个中间量，准确梳理各个人原有钱数和中间量的数量关系，抓住总钱数不变的等量关系列方程即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 某班同学去划船，如果减少1条船，那么每条船正好坐9名同学；如果增加1条船，那么每条船正好坐6名同学。这个班有多少名同学？
答案
8. 解 设有$x$条船，则根据题意，该班同学的人数，可表示为$9(x-1)$和$6(x+1)$，从而得$9(x-1)=6(x+1)$，
解得$x=5$. 所以$9(x-1)=36$.
答：这个班有36名同学.
解得$x=5$. 所以$9(x-1)=36$.
答：这个班有36名同学.
解析
【分析】
本题的核心不变量是全班总人数，两种乘船方案仅调整了船的数量和单船乘坐人数。我们可以先设原有船的数量为未知数，分别用两种乘船方案表示出总人数，再根据总人数相等建立方程，先求解出船的数量，再代入任意一个总人数表达式即可算出全班总人数。
【解析】
解：设原有$x$条船。
根据总人数不变的等量关系，减少1条船时总人数为$9(x-1)$，增加1条船时总人数为$6(x+1)$，可列方程：
$9(x-1)=6(x+1)$
展开括号得：$9x - 9 = 6x + 6$
移项得：$9x - 6x = 6 + 9$
合并同类项得：$3x = 15$
系数化为1得：$x = 5$
将$x=5$代入$9(x-1)$计算总人数：$9×(5-1)=36$（名）
【答案】
这个班有36名同学。
【知识点】
一元一次方程应用；找等量关系；解一元一次方程
【点评】
本题是典型的分配类应用题，解题关键是抓住总人数不变这一隐藏等量关系建立方程，这类题型是方程实际应用的常见考法，掌握解题方法后可迁移解决租车、分组等同类问题。
【难度系数】
0.7
本题的核心不变量是全班总人数，两种乘船方案仅调整了船的数量和单船乘坐人数。我们可以先设原有船的数量为未知数，分别用两种乘船方案表示出总人数，再根据总人数相等建立方程，先求解出船的数量，再代入任意一个总人数表达式即可算出全班总人数。
【解析】
解：设原有$x$条船。
根据总人数不变的等量关系，减少1条船时总人数为$9(x-1)$，增加1条船时总人数为$6(x+1)$，可列方程：
$9(x-1)=6(x+1)$
展开括号得：$9x - 9 = 6x + 6$
移项得：$9x - 6x = 6 + 9$
合并同类项得：$3x = 15$
系数化为1得：$x = 5$
将$x=5$代入$9(x-1)$计算总人数：$9×(5-1)=36$（名）
【答案】
这个班有36名同学。
【知识点】
一元一次方程应用；找等量关系；解一元一次方程
【点评】
本题是典型的分配类应用题，解题关键是抓住总人数不变这一隐藏等量关系建立方程，这类题型是方程实际应用的常见考法，掌握解题方法后可迁移解决租车、分组等同类问题。
【难度系数】
0.7
