登录
1. 下列四个数中，最小的数是(
A.$-\sqrt{3}$
B.$-3$
C.$-1$
D.$\sqrt{5}$
B
)。A.$-\sqrt{3}$
B.$-3$
C.$-1$
D.$\sqrt{5}$
答案
1.B
解析
【解析】
1. 区分正负：$\sqrt{5}$是正数，A、B、C均为负数，正数大于负数，故$\sqrt{5}$最大。
2. 比较负数大小：负数比较大小，绝对值越大，数值越小。
$|-\sqrt{3}|≈1.732$，$|-3|=3$，$|-1|=1$，因为$3＞1.732＞1$，所以$-3＜-\sqrt{3}＜-1$。
综上，四个数中最小的数是$-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较；负数比较规则
【点评】
比较实数大小时，正数大于所有负数；两个负数比较，可通过比较绝对值大小判断，绝对值大的负数更小，无理数可先估算近似值辅助比较。
1. 区分正负：$\sqrt{5}$是正数，A、B、C均为负数，正数大于负数，故$\sqrt{5}$最大。
2. 比较负数大小：负数比较大小，绝对值越大，数值越小。
$|-\sqrt{3}|≈1.732$，$|-3|=3$，$|-1|=1$，因为$3＞1.732＞1$，所以$-3＜-\sqrt{3}＜-1$。
综上，四个数中最小的数是$-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较；负数比较规则
【点评】
比较实数大小时，正数大于所有负数；两个负数比较，可通过比较绝对值大小判断，绝对值大的负数更小，无理数可先估算近似值辅助比较。
2. 下列四个数中，属于无理数的是(
A.$0$
B.$1.33$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\sqrt{3}$
D
)。A.$0$
B.$1.33$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
2.D
解析
【解析】
根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，有理数包括整数、分数（有限小数、无限循环小数）。
A选项0是整数，属于有理数；
B选项1.33是有限小数，属于有理数；
C选项$\frac{1}{2}$是分数，属于有理数；
D选项$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
D
【知识点】
无理数的定义、有理数的分类
【点评】
本题主要考查无理数的识别，解题关键是明确有理数与无理数的概念及区别，准确判断每个选项所属的数的类型。
根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，有理数包括整数、分数（有限小数、无限循环小数）。
A选项0是整数，属于有理数；
B选项1.33是有限小数，属于有理数；
C选项$\frac{1}{2}$是分数，属于有理数；
D选项$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
D
【知识点】
无理数的定义、有理数的分类
【点评】
本题主要考查无理数的识别，解题关键是明确有理数与无理数的概念及区别，准确判断每个选项所属的数的类型。
3. 下列结论中，正确的是(
A.无限小数都是无理数
B.无理数都是无限小数
C.带根号的数都是无理数
D.实数包括正实数、负实数
B
)。A.无限小数都是无理数
B.无理数都是无限小数
C.带根号的数都是无理数
D.实数包括正实数、负实数
答案
3.B
解析
【解析】
A选项：无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，故无限小数不都是无理数，A错误；
B选项：无理数是无限不循环小数，属于无限小数范畴，故无理数都是无限小数，B正确；
C选项：带根号的数若能开方开尽则为有理数，如$\sqrt{4}=2$是有理数，故带根号的数不都是无理数，C错误；
D选项：实数包括正实数、0和负实数，D错误。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题主要考查无理数与实数的相关概念，需明确有理数和无理数的本质区别，避免混淆概念导致错误。
A选项：无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，故无限小数不都是无理数，A错误；
B选项：无理数是无限不循环小数，属于无限小数范畴，故无理数都是无限小数，B正确；
C选项：带根号的数若能开方开尽则为有理数，如$\sqrt{4}=2$是有理数，故带根号的数不都是无理数，C错误；
D选项：实数包括正实数、0和负实数，D错误。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题主要考查无理数与实数的相关概念，需明确有理数和无理数的本质区别，避免混淆概念导致错误。
4. 如图，数轴上表示实数$\sqrt{10}$的点可能是(
A.点$M$
B.点$N$
C.点$P$
D.点$Q$
C
)。A.点$M$
B.点$N$
C.点$P$
D.点$Q$
答案
4.C
解析
【解析】
先估算$\sqrt{10}$的取值范围：
因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
观察数轴可知，点$P$在3和4之间，因此表示实数$\sqrt{10}$的点可能是点$P$。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；数轴与实数的对应关系
【点评】
本题主要考查无理数的估算及数轴上点与实数的对应关系，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
先估算$\sqrt{10}$的取值范围：
因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
观察数轴可知，点$P$在3和4之间，因此表示实数$\sqrt{10}$的点可能是点$P$。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；数轴与实数的对应关系
【点评】
本题主要考查无理数的估算及数轴上点与实数的对应关系，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
5. 写出一个大于$3$且小于$4$的无理数：
π(答案不唯一)
。答案
5.π(答案不唯一)
解析
【解析】
无理数是无限不循环小数，π的值约为3.14，满足大于3且小于4的条件，同时像$\sqrt{10}$（约3.16）等无限不循环小数也符合要求，答案不唯一。
【答案】
π（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义
【点评】
本题主要考查对无理数概念的理解，明确无理数是无限不循环小数，只要找到在3到4之间的无限不循环小数即可，答案具有开放性。
无理数是无限不循环小数，π的值约为3.14，满足大于3且小于4的条件，同时像$\sqrt{10}$（约3.16）等无限不循环小数也符合要求，答案不唯一。
【答案】
π（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义
【点评】
本题主要考查对无理数概念的理解，明确无理数是无限不循环小数，只要找到在3到4之间的无限不循环小数即可，答案具有开放性。
6. $|\sqrt{3}-2|=$
$2 - \sqrt{3}$
；$\pm\sqrt{\frac{25}{9}}=$$±\frac{5}{3}$
；$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=$$-\frac{2}{3}$
。答案
$6.2 - \sqrt{3} ±\frac{5}{3} -\frac{2}{3}$
解析
【解析】
1. 计算$|\sqrt{3}-2|$：
因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，即$\sqrt{3}-2＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$。
2. 计算$\pm\sqrt{\frac{25}{9}}$：
因为$(\pm\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，根据平方根的定义，可得$\pm\sqrt{\frac{25}{9}}=\pm\frac{5}{3}$。
3. 计算$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}$：
因为$(-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}$，根据立方根的定义，可得$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$。
【答案】
$2 - \sqrt{3}$；$\pm\frac{5}{3}$；$-\frac{2}{3}$
【知识点】
绝对值的性质、平方根的定义、立方根的定义
【点评】
本题考查绝对值、平方根、立方根的基础运算，需注意：负数的绝对值为其相反数；正数的平方根有两个，互为相反数；立方根的符号与被开方数符号一致。
1. 计算$|\sqrt{3}-2|$：
因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，即$\sqrt{3}-2＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$。
2. 计算$\pm\sqrt{\frac{25}{9}}$：
因为$(\pm\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，根据平方根的定义，可得$\pm\sqrt{\frac{25}{9}}=\pm\frac{5}{3}$。
3. 计算$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}$：
因为$(-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}$，根据立方根的定义，可得$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$。
【答案】
$2 - \sqrt{3}$；$\pm\frac{5}{3}$；$-\frac{2}{3}$
【知识点】
绝对值的性质、平方根的定义、立方根的定义
【点评】
本题考查绝对值、平方根、立方根的基础运算，需注意：负数的绝对值为其相反数；正数的平方根有两个，互为相反数；立方根的符号与被开方数符号一致。
7. 比较下列各组数的大小。
(1) $\sqrt[3]{25}$和$3$。
(2) $\frac{\sqrt{10}-1}{2}$和$1$。
(1) $\sqrt[3]{25}$和$3$。
(2) $\frac{\sqrt{10}-1}{2}$和$1$。
答案
$7.(1)\sqrt[3]{25} $＜ 3 (2)\frac{\sqrt{10} - 1}{2} ＞ 1
解析
【解析】
(1) 因为$3=\sqrt[3]{27}$，且$25＜27$，根据立方根的性质：被开方数越大，立方根越大，所以$\sqrt[3]{25}＜\sqrt[3]{27}$，即$\sqrt[3]{25}＜3$。
(2) 先将1化为$\frac{2}{2}$，因为$\sqrt{10}＞\sqrt{9}=3$，所以$\sqrt{10}-1＞3-1=2$，不等式两边同时除以2，可得$\frac{\sqrt{10}-1}{2}＞\frac{2}{2}=1$，即$\frac{\sqrt{10}-1}{2}＞1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\sqrt[3]{25} ＜ 3}$；(2) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}-1}{2} ＞ 1}$
【知识点】
立方根的性质、实数比较大小、算术平方根的性质
【点评】
本题考查实数的大小比较，解题关键是利用根式的性质将数转化为同形式后再比较，需熟练掌握“被开方数越大，对应立方根、算术平方根越大”的性质。
(1) 因为$3=\sqrt[3]{27}$，且$25＜27$，根据立方根的性质：被开方数越大，立方根越大，所以$\sqrt[3]{25}＜\sqrt[3]{27}$，即$\sqrt[3]{25}＜3$。
(2) 先将1化为$\frac{2}{2}$，因为$\sqrt{10}＞\sqrt{9}=3$，所以$\sqrt{10}-1＞3-1=2$，不等式两边同时除以2，可得$\frac{\sqrt{10}-1}{2}＞\frac{2}{2}=1$，即$\frac{\sqrt{10}-1}{2}＞1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\sqrt[3]{25} ＜ 3}$；(2) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}-1}{2} ＞ 1}$
【知识点】
立方根的性质、实数比较大小、算术平方根的性质
【点评】
本题考查实数的大小比较，解题关键是利用根式的性质将数转化为同形式后再比较，需熟练掌握“被开方数越大，对应立方根、算术平方根越大”的性质。
8. 在实数$\frac{22}{7}$，$3.1415926$，$\sqrt{7}$，$\sqrt[3]{2}$，$-8$，$\sqrt{36}$，$\frac{π}{2}$中，无理数有(
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
C
)。A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
8.C
解析
【解析】
首先明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
逐个分析所给实数：
1. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
2. $3.1415926$是有限小数，属于有理数；
3. $\sqrt{7}$是开方开不尽的数，属于无理数；
4. $\sqrt[3]{2}$是开方开不尽的数，属于无理数；
5. $-8$是整数，属于有理数；
6. $\sqrt{36}=6$，是整数，属于有理数；
7. $\frac{π}{2}$中$π$是无理数，故$\frac{π}{2}$是无理数。
综上，无理数有$\sqrt{7}$，$\sqrt[3]{2}$，$\frac{π}{2}$，共3个，所以选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义
【点评】
本题主要考查无理数的识别，解题关键是准确区分有理数和无理数，注意$\sqrt{36}$化简后是整数6，属于有理数，避免误判。
首先明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
逐个分析所给实数：
1. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
2. $3.1415926$是有限小数，属于有理数；
3. $\sqrt{7}$是开方开不尽的数，属于无理数；
4. $\sqrt[3]{2}$是开方开不尽的数，属于无理数；
5. $-8$是整数，属于有理数；
6. $\sqrt{36}=6$，是整数，属于有理数；
7. $\frac{π}{2}$中$π$是无理数，故$\frac{π}{2}$是无理数。
综上，无理数有$\sqrt{7}$，$\sqrt[3]{2}$，$\frac{π}{2}$，共3个，所以选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义
【点评】
本题主要考查无理数的识别，解题关键是准确区分有理数和无理数，注意$\sqrt{36}$化简后是整数6，属于有理数，避免误判。
