下列二次函数的图像与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值分别是多少?由此,你能得出相应一元二次方程的根吗?
(1) $y=x^{2}+x-2$;
(2) $y=x^{2}-6x+9$;
(3) $y=x^{2}-x+1$.
(1) $y=x^{2}+x-2$;
(2) $y=x^{2}-6x+9$;
(3) $y=x^{2}-x+1$.
答案
解：
(1) 对于$y=x^{2}+x-2$，
$\Delta = 1^2 - 4×1×(-2) = 9 ＞ 0$，
该二次函数的图像与x轴有两个公共点。
解方程$x^2 + x - 2 = 0$，
因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=1$。
当$x=-2$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=0$。
相应一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$的根为$x_1=-2$，$x_2=1$。
(2) 对于$y=x^{2}-6x+9$，
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×9 = 0$，
该二次函数的图像与x轴有一个公共点。
解方程$x^2 - 6x + 9 = 0$，
得$(x-3)^2=0$，
解得$x_1=x_2=3$。
当$x=3$时，$y=0$。
相应一元二次方程$x^2 - 6x + 9 = 0$的根为$x_1=x_2=3$。
(3) 对于$y=x^{2}-x+1$，
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，
该二次函数的图像与x轴没有公共点，
相应一元二次方程$x^2 - x + 1 = 0$没有实数根。
(1) 对于$y=x^{2}+x-2$，
$\Delta = 1^2 - 4×1×(-2) = 9 ＞ 0$，
该二次函数的图像与x轴有两个公共点。
解方程$x^2 + x - 2 = 0$，
因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=1$。
当$x=-2$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=0$。
相应一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$的根为$x_1=-2$，$x_2=1$。
(2) 对于$y=x^{2}-6x+9$，
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×9 = 0$，
该二次函数的图像与x轴有一个公共点。
解方程$x^2 - 6x + 9 = 0$，
得$(x-3)^2=0$，
解得$x_1=x_2=3$。
当$x=3$时，$y=0$。
相应一元二次方程$x^2 - 6x + 9 = 0$的根为$x_1=x_2=3$。
(3) 对于$y=x^{2}-x+1$，
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，
该二次函数的图像与x轴没有公共点，
相应一元二次方程$x^2 - x + 1 = 0$没有实数根。
例1 求二次函数$y=-x^{2}+2x+3$的图像与x轴公共点的坐标,并画出图像验证.
分析 当$y=0$时,如果所得的一元二次方程有实数根,那么这个根就是二次函数的图像与x轴公共点的横坐标的值.
解 当$y=0$时,得一元二次方程$-x^{2}+2x+3=0$.
解这个一元二次方程,得$x_{1}=-1$,$x_{2}=3$.
所以二次函数$y=-x^{2}+2x+3$的图像与x轴的公共点坐标是$(-1,0)$、$(3,0)$.
二次函数的图像如图5-8所示.
分析 当$y=0$时,如果所得的一元二次方程有实数根,那么这个根就是二次函数的图像与x轴公共点的横坐标的值.
解 当$y=0$时,得一元二次方程$-x^{2}+2x+3=0$.
解这个一元二次方程,得$x_{1}=-1$,$x_{2}=3$.
所以二次函数$y=-x^{2}+2x+3$的图像与x轴的公共点坐标是$(-1,0)$、$(3,0)$.
二次函数的图像如图5-8所示.
答案
解：
当$y=0$时，得一元二次方程$-x^{2}+2x+3=0$。
解这个一元二次方程，得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。
所以二次函数$y=-x^{2}+2x+3$的图像与x轴的公共点坐标是$(-1,0)$、$(3,0)$。
二次函数的图像如图5-8所示。
当$y=0$时，得一元二次方程$-x^{2}+2x+3=0$。
解这个一元二次方程，得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。
所以二次函数$y=-x^{2}+2x+3$的图像与x轴的公共点坐标是$(-1,0)$、$(3,0)$。
二次函数的图像如图5-8所示。
例2 如图5-9,以40 m/s的速度将一小球沿与地面成$30°$角的方向抛出,球飞行的路线可以看成一条抛物线.如果不考虑空气阻力,那么球的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数表达式是$h=20t-5t^{2}$.
(1)球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要多长时间?
(2)球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要多长时间?
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么?
(4)球从飞出到落地要用多长时间?
分析 由于球的飞行高度h与飞行时间t之间的函数表达式是$h=20t-5t^{2}$,所以可以将问题中h的值代入函数表达式,得到关于t的一元二次方程.如果方程有符合实际意义的解,那么说明球的飞行高度可以达到问题中h的值;否则,说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
解 (1)解方程$15=20t-5t^{2}$.
$t^{2}-4t+3=0$.
$t_{1}=1$,$t_{2}=3$.
当球飞行1 s和3 s时,它的高度为15 m.
(2)解方程$20=20t-5t^{2}$.
$t^{2}-4t+4=0$.
$t_{1}=t_{2}=2$.
当球飞行2 s时,它的高度为20 m.
(3)解方程$20.5=20t-5t^{2}$.
$t^{2}-4t+4.1=0$.
因为$(-4)^{2}-4× 4.1＜0$,
所以原方程无实数解.
球的飞行高度不能达到20.5 m.
(4)解方程$0=20t-5t^{2}$.
$t^{2}-4t=0$.
$t_{1}=0$,$t_{2}=4$.
球从地面飞出后4 s落地.
(1)球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要多长时间?
(2)球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要多长时间?
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么?
(4)球从飞出到落地要用多长时间?
分析 由于球的飞行高度h与飞行时间t之间的函数表达式是$h=20t-5t^{2}$,所以可以将问题中h的值代入函数表达式,得到关于t的一元二次方程.如果方程有符合实际意义的解,那么说明球的飞行高度可以达到问题中h的值;否则,说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
解 (1)解方程$15=20t-5t^{2}$.
$t^{2}-4t+3=0$.
$t_{1}=1$,$t_{2}=3$.
当球飞行1 s和3 s时,它的高度为15 m.
(2)解方程$20=20t-5t^{2}$.
$t^{2}-4t+4=0$.
$t_{1}=t_{2}=2$.
当球飞行2 s时,它的高度为20 m.
(3)解方程$20.5=20t-5t^{2}$.
$t^{2}-4t+4.1=0$.
因为$(-4)^{2}-4× 4.1＜0$,
所以原方程无实数解.
球的飞行高度不能达到20.5 m.
(4)解方程$0=20t-5t^{2}$.
$t^{2}-4t=0$.
$t_{1}=0$,$t_{2}=4$.
球从地面飞出后4 s落地.
答案
解：
(1) 解方程$15=20t-5t^{2}$，
$t^{2}-4t+3=0$，
解得$t_{1}=1$，$t_{2}=3$。
答：球的飞行高度能达到15 m，需要1 s或3 s。
(2) 解方程$20=20t-5t^{2}$，
$t^{2}-4t+4=0$，
解得$t_{1}=t_{2}=2$。
答：球的飞行高度能达到20 m，需要2 s。
(3) 解方程$20.5=20t-5t^{2}$，
$t^{2}-4t+4.1=0$，
$\because \Delta=(-4)^{2}-4×1×4.1=16-16.4=-0.4＜0$，
$\therefore$ 原方程无实数解。
答：球的飞行高度不能达到20.5 m，因为对应的一元二次方程无实数解。
(4) 解方程$0=20t-5t^{2}$，
$t^{2}-4t=0$，
解得$t_{1}=0$，$t_{2}=4$。
答：球从飞出到落地要用4 s。
(1) 解方程$15=20t-5t^{2}$，
$t^{2}-4t+3=0$，
解得$t_{1}=1$，$t_{2}=3$。
答：球的飞行高度能达到15 m，需要1 s或3 s。
(2) 解方程$20=20t-5t^{2}$，
$t^{2}-4t+4=0$，
解得$t_{1}=t_{2}=2$。
答：球的飞行高度能达到20 m，需要2 s。
(3) 解方程$20.5=20t-5t^{2}$，
$t^{2}-4t+4.1=0$，
$\because \Delta=(-4)^{2}-4×1×4.1=16-16.4=-0.4＜0$，
$\therefore$ 原方程无实数解。
答：球的飞行高度不能达到20.5 m，因为对应的一元二次方程无实数解。
(4) 解方程$0=20t-5t^{2}$，
$t^{2}-4t=0$，
解得$t_{1}=0$，$t_{2}=4$。
答：球从飞出到落地要用4 s。
