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9. 阅读理解下面的例题：
例 求代数式 $ y^{2}+4y + 8 $ 的最小值.
解 $ y^{2}+4y + 8 = y^{2}+4y + 4 + 4 = ( y + 2 )^{2}+4 $.
$ \because ( y + 2 )^{2} ≥ 0 $，
$ \therefore ( y + 2 )^{2}+4 ≥ 4 $.
$ \therefore y^{2}+4y + 8 $ 的最小值为 4.
请仿照上述方法解答下列问题：
(1) 求代数式 $ m^{2}+m + 4 $ 的最小值；
(2) 求代数式 $ 4 - x^{2}+2x $ 的最大值.
例 求代数式 $ y^{2}+4y + 8 $ 的最小值.
解 $ y^{2}+4y + 8 = y^{2}+4y + 4 + 4 = ( y + 2 )^{2}+4 $.
$ \because ( y + 2 )^{2} ≥ 0 $，
$ \therefore ( y + 2 )^{2}+4 ≥ 4 $.
$ \therefore y^{2}+4y + 8 $ 的最小值为 4.
请仿照上述方法解答下列问题：
(1) 求代数式 $ m^{2}+m + 4 $ 的最小值；
(2) 求代数式 $ 4 - x^{2}+2x $ 的最大值.
答案
$(1)$ 求代数式$m^{2}+m + 4$的最小值
解：
对$m^{2}+m + 4$进行配方：
$\begin{aligned}m^{2}+m + 4&=m^{2}+m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+4\\&=(m + \frac{1}{2})^{2}+4-\frac{1}{4}\\&=(m + \frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}\end{aligned}$
因为$(m + \frac{1}{2})^{2}≥0$，所以$(m + \frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}≥\frac{15}{4}$。
所以$m^{2}+m + 4$的最小值是$\frac{15}{4}$。
$(2)$ 求代数式$4 - x^{2}+2x$的最大值
解：
对$4 - x^{2}+2x$进行变形配方：
$\begin{aligned}4 - x^{2}+2x&=-(x^{2}-2x)+4\\&=-(x^{2}-2x + 1 - 1)+4\\&=-((x - 1)^{2}-1)+4\\&=-(x - 1)^{2}+1 + 4\\&=-(x - 1)^{2}+5\end{aligned}$
因为$(x - 1)^{2}≥0$，所以$-(x - 1)^{2}≤0$，则$-(x - 1)^{2}+5≤5$。
所以$4 - x^{2}+2x$的最大值是$5$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\frac{15}{4}}$；$(2)$$\boldsymbol{5}$。
解：
对$m^{2}+m + 4$进行配方：
$\begin{aligned}m^{2}+m + 4&=m^{2}+m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+4\\&=(m + \frac{1}{2})^{2}+4-\frac{1}{4}\\&=(m + \frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}\end{aligned}$
因为$(m + \frac{1}{2})^{2}≥0$，所以$(m + \frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}≥\frac{15}{4}$。
所以$m^{2}+m + 4$的最小值是$\frac{15}{4}$。
$(2)$ 求代数式$4 - x^{2}+2x$的最大值
解：
对$4 - x^{2}+2x$进行变形配方：
$\begin{aligned}4 - x^{2}+2x&=-(x^{2}-2x)+4\\&=-(x^{2}-2x + 1 - 1)+4\\&=-((x - 1)^{2}-1)+4\\&=-(x - 1)^{2}+1 + 4\\&=-(x - 1)^{2}+5\end{aligned}$
因为$(x - 1)^{2}≥0$，所以$-(x - 1)^{2}≤0$，则$-(x - 1)^{2}+5≤5$。
所以$4 - x^{2}+2x$的最大值是$5$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\frac{15}{4}}$；$(2)$$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
这道题需仿照例题的配方法求解代数式最值，解题思路如下：
1. 对于(1)，先对二次三项式$m^{2}+m + 4$进行配方，通过加上并减去一次项系数一半的平方，将其转化为完全平方式与常数的和的形式；再利用完全平方式的非负性，当完全平方式取0时，代数式取得最小值。
2. 对于(2)，先整理代数式，将二次项系数化为正后再配方，转化为负的完全平方式与常数的和的形式；结合完全平方式的非负性，当完全平方式取0时，代数式取得最大值。
【解析】
(1) 求代数式$m^{2}+m + 4$的最小值：
对$m^{2}+m + 4$进行配方：
$\begin{aligned}m^{2}+m + 4&=m^{2}+m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+4\\&=(m + \frac{1}{2})^{2}+4-\frac{1}{4}\\&=(m + \frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}\end{aligned}$
$\because (m + \frac{1}{2})^{2}≥0$，
$\therefore (m + \frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}≥\frac{15}{4}$，
$\therefore m^{2}+m + 4$的最小值是$\frac{15}{4}$。
(2) 求代数式$4 - x^{2}+2x$的最大值：
对$4 - x^{2}+2x$进行变形配方：
$\begin{aligned}4 - x^{2}+2x&=-(x^{2}-2x)+4\\&=-(x^{2}-2x + 1 - 1)+4\\&=-((x - 1)^{2}-1)+4\\&=-(x - 1)^{2}+1 + 4\\&=-(x - 1)^{2}+5\end{aligned}$
$\because (x - 1)^{2}≥0$，
$\therefore -(x - 1)^{2}≤0$，
$\therefore -(x - 1)^{2}+5≤5$，
$\therefore 4 - x^{2}+2x$的最大值是$5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{15}{4}}$；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
配方法、完全平方非负性、代数式最值
【点评】
本题通过仿照例题的形式，考查配方法的应用及完全平方的非负性，解题关键是熟练掌握配方法步骤，准确将代数式转化为完全平方式与常数的组合形式，再根据完全平方的性质判断最值，有助于提升学生代数式变形能力和对非负性的理解。
【难度系数】
0.6
这道题需仿照例题的配方法求解代数式最值，解题思路如下：
1. 对于(1)，先对二次三项式$m^{2}+m + 4$进行配方，通过加上并减去一次项系数一半的平方，将其转化为完全平方式与常数的和的形式；再利用完全平方式的非负性，当完全平方式取0时，代数式取得最小值。
2. 对于(2)，先整理代数式，将二次项系数化为正后再配方，转化为负的完全平方式与常数的和的形式；结合完全平方式的非负性，当完全平方式取0时，代数式取得最大值。
【解析】
(1) 求代数式$m^{2}+m + 4$的最小值：
对$m^{2}+m + 4$进行配方：
$\begin{aligned}m^{2}+m + 4&=m^{2}+m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+4\\&=(m + \frac{1}{2})^{2}+4-\frac{1}{4}\\&=(m + \frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}\end{aligned}$
$\because (m + \frac{1}{2})^{2}≥0$，
$\therefore (m + \frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}≥\frac{15}{4}$，
$\therefore m^{2}+m + 4$的最小值是$\frac{15}{4}$。
(2) 求代数式$4 - x^{2}+2x$的最大值：
对$4 - x^{2}+2x$进行变形配方：
$\begin{aligned}4 - x^{2}+2x&=-(x^{2}-2x)+4\\&=-(x^{2}-2x + 1 - 1)+4\\&=-((x - 1)^{2}-1)+4\\&=-(x - 1)^{2}+1 + 4\\&=-(x - 1)^{2}+5\end{aligned}$
$\because (x - 1)^{2}≥0$，
$\therefore -(x - 1)^{2}≤0$，
$\therefore -(x - 1)^{2}+5≤5$，
$\therefore 4 - x^{2}+2x$的最大值是$5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{15}{4}}$；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
配方法、完全平方非负性、代数式最值
【点评】
本题通过仿照例题的形式，考查配方法的应用及完全平方的非负性，解题关键是熟练掌握配方法步骤，准确将代数式转化为完全平方式与常数的组合形式，再根据完全平方的性质判断最值，有助于提升学生代数式变形能力和对非负性的理解。
【难度系数】
0.6
