登录
13. 我国约有7亿人佩戴近视眼镜。如图所示，近视眼镜主要由镜片、镜架和鼻托构成，其主要材料的部分技术指标如下表：
| 材料技术指标 | 树脂镜片 | 玻璃镜片 | 铜合金 | 钛合金 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 密度/($\mathrm{kg·m}^{-3}$) | $1.3×10^{3}$ |
$×10^{3}$ | $8.0×10^{3}$ | $4.5×10^{3}$ |
| 性能 | 较耐磨损 | 耐磨损 | 较耐腐蚀 | 耐腐蚀 |
(1)求一块体积为$4×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$的玻璃镜片的质量$m_{\mathrm{片}}$；
(2)如图所示的一副铜合金镜架的质量为$2×10^{-2}\ \mathrm{kg}$，若以钛合金代替铜合金，求该镜架的质量$m_{\mathrm{镜}}$；
(3)若选择较轻的树脂镜片和钛合金镜架，一副眼镜的总质量为20 g。已知鼻托的重力约占眼镜总重的80%，一个鼻托与鼻梁的有效接触面积约为$5.0×10^{-4}\ \mathrm{m}^2$，求鼻托对鼻梁的压强$p$。($g$取10 N/kg)
| 材料技术指标 | 树脂镜片 | 玻璃镜片 | 铜合金 | 钛合金 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 密度/($\mathrm{kg·m}^{-3}$) | $1.3×10^{3}$ |
$×10^{3}$ | $8.0×10^{3}$ | $4.5×10^{3}$ || 性能 | 较耐磨损 | 耐磨损 | 较耐腐蚀 | 耐腐蚀 |
(1)求一块体积为$4×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$的玻璃镜片的质量$m_{\mathrm{片}}$；
(2)如图所示的一副铜合金镜架的质量为$2×10^{-2}\ \mathrm{kg}$，若以钛合金代替铜合金，求该镜架的质量$m_{\mathrm{镜}}$；
(3)若选择较轻的树脂镜片和钛合金镜架，一副眼镜的总质量为20 g。已知鼻托的重力约占眼镜总重的80%，一个鼻托与鼻梁的有效接触面积约为$5.0×10^{-4}\ \mathrm{m}^2$，求鼻托对鼻梁的压强$p$。($g$取10 N/kg)
答案
13.(1)0.01 kg (2)$1.125×10^{-2}$ kg (3)160 Pa
解析
【分析】
本题是密度、重力与压强的综合计算题，分三小问逐步分析：
1. 第(1)问求玻璃镜片质量，利用密度公式变形$m=\rho V$，需从表格获取玻璃镜片密度，代入已知体积计算；
2. 第(2)问求钛合金镜架质量，镜架体积不变，先由铜合金镜架的质量和密度算出镜架体积，再用钛合金密度乘该体积得质量；
3. 第(3)问求鼻托压强，先算眼镜总重力，再得鼻托重力（占总重80%），注意一副眼镜有2个鼻托，总接触面积为2倍单个接触面积，最后用压强公式$p=\frac{F}{S}$（$F$等于鼻托重力）计算，全程注意单位统一。
【解析】
解：
(1) 由表格知玻璃镜片密度$\rho_{玻璃}=2.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，根据$\rho=\frac{m}{V}$，得玻璃镜片质量：
$m_{片}=\rho_{玻璃}V=2.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×4×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=0.01\ \mathrm{kg}$；
(2) 铜合金镜架体积$V_{架}=\frac{m_{铜}}{\rho_{铜}}$，其中$\rho_{铜}=8.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$m_{铜}=2×10^{-2}\ \mathrm{kg}$，则：
$V_{架}=\frac{2×10^{-2}\ \mathrm{kg}}{8.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2.5×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$；
钛合金镜架质量$m_{镜}=\rho_{钛}V_{架}$，$\rho_{钛}=4.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，则：
$m_{镜}=4.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×2.5×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=1.125×10^{-2}\ \mathrm{kg}$；
(3) 眼镜总质量$m_{总}=20\ \mathrm{g}=0.02\ \mathrm{kg}$，总重力$G_{总}=m_{总}g=0.02\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.2\ \mathrm{N}$；
鼻托总重力$G_{鼻}=G_{总}×80\%=0.2\ \mathrm{N}×0.8=0.16\ \mathrm{N}$，鼻托对鼻梁的压力$F=G_{鼻}=0.16\ \mathrm{N}$；
一副眼镜有2个鼻托，总接触面积$S=2×5.0×10^{-4}\ \mathrm{m}^2=1.0×10^{-3}\ \mathrm{m}^2$；
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，得：
$p=\frac{0.16\ \mathrm{N}}{1.0×10^{-3}\ \mathrm{m}^2}=160\ \mathrm{Pa}$。
【答案】
(1)0.01 kg (2)$1.125×10^{-2}$ kg (3)160 Pa
【知识点】
密度公式应用、压强计算、重力与质量的关系
【点评】
本题结合生活实际，考查密度、重力、压强的综合计算，需熟练掌握相关公式，注意单位换算和隐含条件（一副眼镜有2个鼻托），是力学基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是密度、重力与压强的综合计算题，分三小问逐步分析：
1. 第(1)问求玻璃镜片质量，利用密度公式变形$m=\rho V$，需从表格获取玻璃镜片密度，代入已知体积计算；
2. 第(2)问求钛合金镜架质量，镜架体积不变，先由铜合金镜架的质量和密度算出镜架体积，再用钛合金密度乘该体积得质量；
3. 第(3)问求鼻托压强，先算眼镜总重力，再得鼻托重力（占总重80%），注意一副眼镜有2个鼻托，总接触面积为2倍单个接触面积，最后用压强公式$p=\frac{F}{S}$（$F$等于鼻托重力）计算，全程注意单位统一。
【解析】
解：
(1) 由表格知玻璃镜片密度$\rho_{玻璃}=2.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，根据$\rho=\frac{m}{V}$，得玻璃镜片质量：
$m_{片}=\rho_{玻璃}V=2.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×4×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=0.01\ \mathrm{kg}$；
(2) 铜合金镜架体积$V_{架}=\frac{m_{铜}}{\rho_{铜}}$，其中$\rho_{铜}=8.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$m_{铜}=2×10^{-2}\ \mathrm{kg}$，则：
$V_{架}=\frac{2×10^{-2}\ \mathrm{kg}}{8.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2.5×10^{-6}\ \mathrm{m}^3$；
钛合金镜架质量$m_{镜}=\rho_{钛}V_{架}$，$\rho_{钛}=4.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，则：
$m_{镜}=4.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×2.5×10^{-6}\ \mathrm{m}^3=1.125×10^{-2}\ \mathrm{kg}$；
(3) 眼镜总质量$m_{总}=20\ \mathrm{g}=0.02\ \mathrm{kg}$，总重力$G_{总}=m_{总}g=0.02\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=0.2\ \mathrm{N}$；
鼻托总重力$G_{鼻}=G_{总}×80\%=0.2\ \mathrm{N}×0.8=0.16\ \mathrm{N}$，鼻托对鼻梁的压力$F=G_{鼻}=0.16\ \mathrm{N}$；
一副眼镜有2个鼻托，总接触面积$S=2×5.0×10^{-4}\ \mathrm{m}^2=1.0×10^{-3}\ \mathrm{m}^2$；
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，得：
$p=\frac{0.16\ \mathrm{N}}{1.0×10^{-3}\ \mathrm{m}^2}=160\ \mathrm{Pa}$。
【答案】
(1)0.01 kg (2)$1.125×10^{-2}$ kg (3)160 Pa
【知识点】
密度公式应用、压强计算、重力与质量的关系
【点评】
本题结合生活实际，考查密度、重力、压强的综合计算，需熟练掌握相关公式，注意单位换算和隐含条件（一副眼镜有2个鼻托），是力学基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
