一、填空。
1. 在括号里填上合适的质数。
$18=(\quad)+(\quad)$ $18=(\quad)×(\quad)×(\quad)$
$60=(\quad)+(\quad)$ $60=(\quad)×(\quad)×(\quad)×(\quad)$

示例：18=(7)+(11)，18=(2)×(3)×(3)；60=(13)+(47)，60=(2)×(2)×(3)×(5)（加法部分答案不唯一）

首先明确质数的概念：大于1的自然数中，除了1和它本身之外没有其他因数的数叫做质数。
1. 寻找和为18的两个质数，符合要求的组合有7和11、5和13等，任选一组即可；
2. 对18分解质因数，将其拆为质数连乘的形式，可得18=2×3×3；
3. 寻找和为60的两个质数，符合要求的组合有13和47、7和53、19和41等，任选一组即可；
4. 对60分解质因数，可得60=2×2×3×5。

2. $A=2×5×7,B=2×2×3×5,A$和$B$的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

10；420

这道题用分解质因数法求解，规则如下：
1. 求最大公因数：两个数的最大公因数等于它们所有公有质因数的乘积。A和B公有的质因数是2和5，因此最大公因数为2×5=10。
2. 求最小公倍数：两个数的最小公倍数等于它们的公有质因数，乘上各自独有的质因数的乘积。公有质因数是2、5，A的独有质因数是7，B的独有质因数是2、3，因此最小公倍数为2×5×7×2×3=420。

3. 直接写出下面各数的最大公因数和最小公倍数。
（1）24 和 12 的最大公因数是(),最小公倍数是()。
（2）6 和 9 的最大公因数是(),最小公倍数是()。
（3）7 和 8 的最大公因数是(),最小公倍数是()。

（1）12，24 （2）3，18 （3）1，56

我们可以结合数的不同关系，用五年级所学的方法求解：
1. 两个数为倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数：24是12的2倍，二者是倍数关系，因此最大公因数是12，最小公倍数是24。
2. 用列举法求解6和9的对应结果：6的因数有1、2、3、6，9的因数有1、3、9，公有的最大因数是3；6的倍数有6、12、18……，9的倍数有9、18……，公有的最小公倍数是18。
3. 互质的两个数最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积：7和8是相邻的自然数，二者互质，因此最大公因数是1，最小公倍数是7×8=56。

二、实际应用。

答案略

1. 有两根绳子，一根长16米，另一根长12米。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余。每段绳子最长是多少米？

每段绳子最长是4米

要把两根分别长16米、12米的绳子剪成同样长的小段且没有剩余，每段长度需要同时是16和12的因数，题目要求每段最长，实际就是求16和12的最大公因数。
1. 列举16的所有因数：1、2、4、8、16
2. 列举12的所有因数：1、2、3、4、6、12
3. 找出两个数的公因数为1、2、4，其中最大的公因数是4。

2. 学校运来一批树苗(棵数在 100～180 棵之间)。如果每行栽8棵或每行栽10棵，都恰好能栽成整行数。这批树苗可能有多少棵？

这批树苗可能有120棵或160棵。

由题意可知，这批树苗的棵数同时是8和10的倍数，也就是8和10的公倍数。
1. 先求8和10的最小公倍数：
8的倍数有：8、16、24、32、40、48……
10的倍数有：10、20、30、40、50……
可得8和10的最小公倍数是40。
2. 再找出100~180区间内40的倍数：
40×3=120，40×4=160，其中40×2=80小于100、40×5=200大于180，都不符合棵数范围要求。
因此符合条件的树苗棵数为120棵或160棵。

三、探索与实践。
根据2、3、5的倍数特征的探究方法尝试探究9的倍数特征。

（1）探究:在百数表中圈出9的倍数。
（2）猜想:我猜测9的倍数特征是:
。
（3）验证:根据猜测任意写2个大于100的9的倍数,算一算进行验证。
（4）应用:
① 不计算,圈出9的倍数。
126 6274 5364 11526 367245
② 已知五位数289m5是9的倍数,m是()。

（2）一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数
（3）示例：108，1+0+8=9，108÷9=12，是9的倍数；198，1+9+8=18，198÷9=22，是9的倍数（答案不唯一）
（4）① 圈出126、5364、367245 ② 3

1. （1）在百数表中找出所有9的倍数：9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99，将这些数圈出即可。
2. （2）计算圈出的每个数各数位上的数字之和：9的数字和为9，18的数字和为1+8=9，27的数字和为2+7=9……99的数字和为9+9=18，所有和都是9的倍数，由此得到猜想。
3. （3）举例验证：比如取108，各数位数字和1+0+8=9，9是9的倍数，108÷9=12，108是9的倍数；再取297，各数位数字和2+9+7=18，18是9的倍数，297÷9=33，297是9的倍数，验证猜想成立。
4. （4）① 分别计算各数的数位数字和：
126：1+2+6=9，是9的倍数；
6274：6+2+7+4=19，不是9的倍数；
5364：5+3+6+4=18，是9的倍数；
11526：1+1+5+2+6=15，不是9的倍数；
367245：3+6+7+2+4+5=27，是9的倍数。
② 五位数289m5的各数位数字和为2+8+9+m+5=24+m，m是0~9的一位数，24+m的取值范围是24~33，这个范围内只有27是9的倍数，因此24+m=27，解得m=3。