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10.如图，在$□ ABCD$中，E，F是对角线AC上的两点，且$AE=CF$.求证：$BE=DF$.
答案
10. 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO,BO=DO,∠AOB=∠COD.
又
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO,BO=DO,∠AOB=∠COD.
又
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE=DF.
解析
【分析】
要证明线段BE与DF相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，由此可得AO=CO、BO=DO；结合已知条件AE=CF，通过等式的性质可推导出OE=OF；再结合对顶角相等，即可得到△BOE和△DOF全等的边角边判定条件，证明三角形全等后，根据全等三角形对应边相等就能得出BE=DF的结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形对角线互相平分，即AO=CO，BO=DO，且∠AOB与∠COD为对顶角，故∠AOB=∠COD。
又
∵AE=CF，
∴AO - AE = CO - CF，即OE=OF，
在△BOE和△DOF中：
$\begin{cases} BO=DO \\ ∠ BOE=∠ DOF \\ OE=OF \end{cases}$
∴△BOE≌△DOF（SAS），
由全等三角形对应边相等，可得BE=DF。
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO,BO=DO,∠AOB=∠COD.
又
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE=DF.
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是利用平行四边形的性质推导全等三角形所需的边相等条件，再通过全等得到对应边相等的结论。解题时需熟练掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理，找准对应边和对应角即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要证明线段BE与DF相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，由此可得AO=CO、BO=DO；结合已知条件AE=CF，通过等式的性质可推导出OE=OF；再结合对顶角相等，即可得到△BOE和△DOF全等的边角边判定条件，证明三角形全等后，根据全等三角形对应边相等就能得出BE=DF的结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形对角线互相平分，即AO=CO，BO=DO，且∠AOB与∠COD为对顶角，故∠AOB=∠COD。
又
∵AE=CF，
∴AO - AE = CO - CF，即OE=OF，
在△BOE和△DOF中：
$\begin{cases} BO=DO \\ ∠ BOE=∠ DOF \\ OE=OF \end{cases}$
∴△BOE≌△DOF（SAS），
由全等三角形对应边相等，可得BE=DF。
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO,BO=DO,∠AOB=∠COD.
又
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE=DF.
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是利用平行四边形的性质推导全等三角形所需的边相等条件，再通过全等得到对应边相等的结论。解题时需熟练掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理，找准对应边和对应角即可快速求解。
【难度系数】
0.85
11.如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,∠BCD 的平分线 CF 交边 AB 于点 F,∠ADC 的平分线 DG 交边 AB 于点 G.求证:AF=GB.
答案
11. 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠AGD=∠CDG.
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG=∠CDG，
∴∠ADG=∠AGD，
∴AD=AG.
同理，BC=BF.
又由四边形ABCD是平行四边形，得AD=BC，
∴AG=BF，
∴AG-GF=BF-GF，即AF=GB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠AGD=∠CDG.
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG=∠CDG，
∴∠ADG=∠AGD，
∴AD=AG.
同理，BC=BF.
又由四边形ABCD是平行四边形，得AD=BC，
∴AG=BF，
∴AG-GF=BF-GF，即AF=GB.
解析
【分析】
要证明AF=GB，可先证明AG=BF，再同时减去公共线段GF即可得到结论。首先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义，可推出△ADG和△BCF均为等腰三角形，得到AD=AG、BC=BF；再结合平行四边形对边相等的性质，可得AG=BF，最后通过线段的和差关系推导即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD=BC，
∴∠AGD=∠CDG（两直线平行，内错角相等）。
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG=∠CDG（角平分线的定义），
∴∠ADG=∠AGD，
∴AD=AG（等角对等边）。
同理可得：BC=BF。
又
∵AD=BC，
∴AG=BF，
∴AG-GF=BF-GF，即AF=GB。
【答案】
AF=GB
【知识点】
平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，解题的核心是利用平行线和角平分线的组合特征得到等腰三角形，再通过等量代换和线段和差关系推导结论，能够有效考查学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明AF=GB，可先证明AG=BF，再同时减去公共线段GF即可得到结论。首先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义，可推出△ADG和△BCF均为等腰三角形，得到AD=AG、BC=BF；再结合平行四边形对边相等的性质，可得AG=BF，最后通过线段的和差关系推导即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD=BC，
∴∠AGD=∠CDG（两直线平行，内错角相等）。
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG=∠CDG（角平分线的定义），
∴∠ADG=∠AGD，
∴AD=AG（等角对等边）。
同理可得：BC=BF。
又
∵AD=BC，
∴AG=BF，
∴AG-GF=BF-GF，即AF=GB。
【答案】
AF=GB
【知识点】
平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，解题的核心是利用平行线和角平分线的组合特征得到等腰三角形，再通过等量代换和线段和差关系推导结论，能够有效考查学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
12.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF//BE。
求证:(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形ABCD是平行四边形。
求证:(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形ABCD是平行四边形。
答案
12. 证明:(1)
∵DF//BE，
∴∠DFE=∠BEF.
∵∠AFD+∠DFE=180°，
∠CEB+∠BEF=180°，
∴∠AFD=∠CEB.
又
∵AF=CE,DF=BE，
∴△AFD≌△CEB.
(2)由(1)知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA,AD=CB，
∴AD//BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵DF//BE，
∴∠DFE=∠BEF.
∵∠AFD+∠DFE=180°，
∠CEB+∠BEF=180°，
∴∠AFD=∠CEB.
又
∵AF=CE,DF=BE，
∴△AFD≌△CEB.
(2)由(1)知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA,AD=CB，
∴AD//BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
解析
【分析】
（1）要证明△AFD≌△CEB，已知两组对应边相等：AF=CE、DF=BE，只需推导两边的夹角相等即可。由DF//BE可得∠DFE=∠BEF，结合平角的性质可推出二者的邻补角∠AFD=∠CEB，刚好满足SAS的全等判定条件，即可证得三角形全等。
（2）要证明四边形ABCD是平行四边形，可通过“一组对边平行且相等”的判定定理推导。借助（1）的全等结论，可得到AD=CB，同时对应角∠DAC=∠BCA，由内错角相等可推出AD//BC，即可判定四边形为平行四边形。
【解析】
(1) 证明：
∵DF//BE，
∴∠DFE=∠BEF。
∵∠AFD+∠DFE=180°，∠CEB+∠BEF=180°，
∴∠AFD=∠CEB。
又
∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）。
(2) 由(1)知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=CB，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
12. 证明:(1)
∵DF//BE，
∴∠DFE=∠BEF.
∵∠AFD+∠DFE=180°，
∠CEB+∠BEF=180°，
∴∠AFD=∠CEB.
又
∵AF=CE,DF=BE，
∴△AFD≌△CEB.
(2)由(1)知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA,AD=CB，
∴AD//BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
【知识点】
全等三角形的判定、平行线的性质与判定、平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查基础几何定理的应用能力，解题关键是合理利用已知条件推导角的等量关系，再结合全等三角形的性质得到平行四边形的判定依据，是几何部分的常规考法。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△AFD≌△CEB，已知两组对应边相等：AF=CE、DF=BE，只需推导两边的夹角相等即可。由DF//BE可得∠DFE=∠BEF，结合平角的性质可推出二者的邻补角∠AFD=∠CEB，刚好满足SAS的全等判定条件，即可证得三角形全等。
（2）要证明四边形ABCD是平行四边形，可通过“一组对边平行且相等”的判定定理推导。借助（1）的全等结论，可得到AD=CB，同时对应角∠DAC=∠BCA，由内错角相等可推出AD//BC，即可判定四边形为平行四边形。
【解析】
(1) 证明：
∵DF//BE，
∴∠DFE=∠BEF。
∵∠AFD+∠DFE=180°，∠CEB+∠BEF=180°，
∴∠AFD=∠CEB。
又
∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）。
(2) 由(1)知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=CB，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
12. 证明:(1)
∵DF//BE，
∴∠DFE=∠BEF.
∵∠AFD+∠DFE=180°，
∠CEB+∠BEF=180°，
∴∠AFD=∠CEB.
又
∵AF=CE,DF=BE，
∴△AFD≌△CEB.
(2)由(1)知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA,AD=CB，
∴AD//BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
【知识点】
全等三角形的判定、平行线的性质与判定、平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查基础几何定理的应用能力，解题关键是合理利用已知条件推导角的等量关系，再结合全等三角形的性质得到平行四边形的判定依据，是几何部分的常规考法。
【难度系数】
0.8
13. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
已知:如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边的中点.
求证:DE//BC,且 DE=$\frac{1}{2}$BC.
[方法一]证明:如图1,延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.
[方法二]证明:如图2,取BC的中点G,连接GE并延长到点F,使EF=GE,连接AF.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
已知:如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边的中点.
求证:DE//BC,且 DE=$\frac{1}{2}$BC.
[方法一]证明:如图1,延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.
[方法二]证明:如图2,取BC的中点G,连接GE并延长到点F,使EF=GE,连接AF.
答案
13. 解:选择方法一.
证明如下:
在△AED和△CEF中，
$\begin{cases} AE=CE, \\ ∠AED=∠CEF, \\ DE=FE, \end{cases}$
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴AD=CF,∠DAE=∠FCE.
∴CF//AB.
∵AD=DB,
∴CF=DB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC,DF//BC.
∵DE=$\frac{1}{2}$DF，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC,DE//BC.
方法二可证明△AEF≌△CEG，得到四边形ABGF为平行四边形，仿照方法一证明.
证明如下:
在△AED和△CEF中，
$\begin{cases} AE=CE, \\ ∠AED=∠CEF, \\ DE=FE, \end{cases}$
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴AD=CF,∠DAE=∠FCE.
∴CF//AB.
∵AD=DB,
∴CF=DB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC,DF//BC.
∵DE=$\frac{1}{2}$DF，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC,DE//BC.
方法二可证明△AEF≌△CEG，得到四边形ABGF为平行四边形，仿照方法一证明.
解析
【分析】
我们选择方法一进行证明，解题思路如下：要证明DE与BC的平行关系和数量关系，直接推导条件不足，因此结合给出的辅助线构造全等三角形：首先E是AC中点可得AE=CE，结合辅助线EF=DE与对顶角相等，可通过SAS证明△AED≌△CEF，利用全等性质得到边、角的等量关系，推出CF与AB平行且等于AD；再结合D是AB中点得到CF与DB平行且相等，即可判定四边形DBCF是平行四边形，最后利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合DE是DF的一半，即可推导出待证结论。
【解析】
选择方法一证明：
∵E是AC的中点，
∴AE=CE。
在△AED和△CEF中：
$\begin{cases} AE=CE, \\ ∠AED=∠CEF, \\ DE=FE, \end{cases}$
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD=CF，∠DAE=∠FCE，
∴CF//AB（内错角相等，两直线平行）。
∵D是AB的中点，
∴AD=DB，
∴CF=DB，
∴CF平行且等于DB，
∴四边形DBCF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF//BC，DF=BC。
又
∵DE=$\frac{1}{2}$DF，
∴DE//BC，且DE=$\frac{1}{2}$BC。
若选择方法二，可先证△AEF≌△CEG，得到AF与CG平行且相等，结合G是BC中点推出AF与BG平行且相等，判定四边形ABGF为平行四边形，再仿照方法一的逻辑即可完成证明。
【答案】
选择方法一的证明过程如下：
在△AED和△CEF中，
$\begin{cases} AE=CE, \\ ∠AED=∠CEF, \\ DE=FE, \end{cases}$
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴AD=CF,∠DAE=∠FCE，
∴CF//AB，
∵AD=DB，
∴CF=DB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC,DF//BC，
∵DE=$\frac{1}{2}$DF，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC,DE//BC。
（选择方法二可仿照上述逻辑证明）
【知识点】
全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题是三角形中位线定理的推导题，通过构造辅助线将中位线的证明问题转化为熟悉的全等三角形、平行四边形问题来解决，体现了转化的数学思想，有助于训练几何辅助线的构造思路，深化对几何定理推导逻辑的理解。
【难度系数】
0.7
我们选择方法一进行证明，解题思路如下：要证明DE与BC的平行关系和数量关系，直接推导条件不足，因此结合给出的辅助线构造全等三角形：首先E是AC中点可得AE=CE，结合辅助线EF=DE与对顶角相等，可通过SAS证明△AED≌△CEF，利用全等性质得到边、角的等量关系，推出CF与AB平行且等于AD；再结合D是AB中点得到CF与DB平行且相等，即可判定四边形DBCF是平行四边形，最后利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合DE是DF的一半，即可推导出待证结论。
【解析】
选择方法一证明：
∵E是AC的中点，
∴AE=CE。
在△AED和△CEF中：
$\begin{cases} AE=CE, \\ ∠AED=∠CEF, \\ DE=FE, \end{cases}$
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD=CF，∠DAE=∠FCE，
∴CF//AB（内错角相等，两直线平行）。
∵D是AB的中点，
∴AD=DB，
∴CF=DB，
∴CF平行且等于DB，
∴四边形DBCF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF//BC，DF=BC。
又
∵DE=$\frac{1}{2}$DF，
∴DE//BC，且DE=$\frac{1}{2}$BC。
若选择方法二，可先证△AEF≌△CEG，得到AF与CG平行且相等，结合G是BC中点推出AF与BG平行且相等，判定四边形ABGF为平行四边形，再仿照方法一的逻辑即可完成证明。
【答案】
选择方法一的证明过程如下：
在△AED和△CEF中，
$\begin{cases} AE=CE, \\ ∠AED=∠CEF, \\ DE=FE, \end{cases}$
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴AD=CF,∠DAE=∠FCE，
∴CF//AB，
∵AD=DB，
∴CF=DB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC,DF//BC，
∵DE=$\frac{1}{2}$DF，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC,DE//BC。
（选择方法二可仿照上述逻辑证明）
【知识点】
全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题是三角形中位线定理的推导题，通过构造辅助线将中位线的证明问题转化为熟悉的全等三角形、平行四边形问题来解决，体现了转化的数学思想，有助于训练几何辅助线的构造思路，深化对几何定理推导逻辑的理解。
【难度系数】
0.7
