1.若$x^2 - 4x -6=0$，则$\frac{x^2 -1}{x+3} ÷ \frac{x+1}{x^2 -9} =$

$9$

【分析】
本题是分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先对给定的分式进行化简，根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，得到最简整式；第二步结合已知方程，将所求整式转化为含有已知式的形式，用整体代入法计算结果，无需直接求解x的值，可简化计算。
【解析】
首先化简分式：
$\begin{aligned}\frac{x^2 -1}{x+3} ÷ \frac{x+1}{x^2 -9}&=\frac{x^2 -1}{x+3} × \frac{x^2 -9}{x+1}\\&=\frac{(x-1)(x+1)}{x+3} × \frac{(x-3)(x+3)}{x+1}\\&=(x-1)(x-3)\\&=x^2 -4x +3\end{aligned}$
已知$x^2 -4x -6=0$，移项可得$x^2 -4x=6$，将其代入化简后的式子：
原式$=6 + 3=9$
【答案】
$9$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题的核心是先将分式约分化简为最简形式，再利用整体思想代入已知条件计算，若直接求解一元二次方程得到x的值再代入计算，会大大增加计算量，也容易出错。
【难度系数】
0.7

2.前年、去年、今年某地的森林面积(单位:$\mathrm{km}^2$)分别是$S_1,S_2,S_3$,今年与去年相比,森林面积增长率提高了________.

$\dfrac{S_1S_3 - S_2^2}{S_1S_2}$

【分析】
要解决这道题，首先需要明确增长率的计算公式：增长率=（本期的量-上期的量）÷上期的量。解题思路分三步：第一步先求出去年相对于前年的森林面积增长率，第二步求出今年相对于去年的森林面积增长率，第三步用今年的增长率减去去年的增长率，再通过分式的加减运算化简得到结果即可。
【解析】
解：①计算去年相对于前年的森林面积增长率：
增长率$r_1=\frac{\mathrm{去年面积}-\mathrm{前年面积}}{\mathrm{前年面积}}=\frac{S_2 - S_1}{S_1}$
②计算今年相对于去年的森林面积增长率：
增长率$r_2=\frac{\mathrm{今年面积}-\mathrm{去年面积}}{\mathrm{去年面积}}=\frac{S_3 - S_2}{S_2}$
③计算今年比去年增长率提高的量，即求$r_2 - r_1$：
$\begin{aligned}r_2 - r_1&=\frac{S_3 - S_2}{S_2}-\frac{S_2 - S_1}{S_1}\\&=\frac{S_1(S_3 - S_2)}{S_1S_2}-\frac{S_2(S_2 - S_1)}{S_1S_2}\\&=\frac{S_1S_3 - S_1S_2 - S_2^2 + S_1S_2}{S_1S_2}\\&=\frac{S_1S_3 - S_2^2}{S_1S_2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{S_1S_3 - S_2^2}{S_1S_2}$
【知识点】
增长率的计算，分式的加减运算，分式化简
【点评】
本题核心是正确理解增长率的概念，准确找到不同阶段增长率的计算基数，再通过分式通分化简得到结果，计算时要注意通分后分子去括号的符号问题，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6

3.计算:
(1)$(m+2+\dfrac{5}{2-m})· \dfrac{2m-4}{3-m};$
(2)

解:(1)原式$=\dfrac{9-m^2}{2-m}·\dfrac{2(m-2)}{3-m}=-2m-6$；
(2)原式$=[\dfrac{x+2}{x(x-2)}-\dfrac{x-1}{(x-2)^2}]·\dfrac{x}{x-4}$
$=\dfrac{x^2-4-x^2+x}{x(x-2)^2}·\dfrac{x}{x-4}=\dfrac{1}{(x-2)^2}$。

【分析】
分式混合运算遵循“先括号内，后括号外，先乘除后加减”的运算顺序，计算时先对分子分母因式分解，方便后续通分、约分：
(1) 先将括号内的整式与分式通分合并，分子用平方差公式因式分解，再将后面分式的分子提取公因式，注意$(2-m)$与$(m-2)$互为相反数，约分时需变号，最后约分化简即可；
(2) 先对括号内两个分式的分母因式分解，找到最简公分母通分计算减法，再将除法转化为乘法，约去公因式后化简即可。
【解析】
(1) 先对括号内通分：
原式$=\dfrac{(m+2)(2-m)+5}{2-m}·\dfrac{2(m-2)}{3-m}$
$=\dfrac{4-m^2+5}{2-m}·\dfrac{2(m-2)}{3-m}$
$=\dfrac{9-m^2}{2-m}·\dfrac{2(m-2)}{3-m}$
将$9-m^2$因式分解为$(3-m)(3+m)$，同时$(m-2)=-(2-m)$，代入约分：
$=\dfrac{(3-m)(3+m)}{2-m}·\dfrac{2×(-(2-m))}{3-m}$
约去公因式$(3-m)$、$(2-m)$，化简得：
$=-2(m+3)=-2m-6$
(2) 先因式分解各分母，将除法转化为乘法：
原式$=[\dfrac{x+2}{x(x-2)}-\dfrac{x-1}{(x-2)^2}]·\dfrac{x}{x-4}$
对括号内通分，最简公分母为$x(x-2)^2$：
$=[\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2}-\dfrac{x(x-1)}{x(x-2)^2}]·\dfrac{x}{x-4}$
计算分子并化简：
$=\dfrac{x^2-4-x^2+x}{x(x-2)^2}·\dfrac{x}{x-4}=\dfrac{x-4}{x(x-2)^2}·\dfrac{x}{x-4}$
约去公因式$x$、$x-4$，得：
$=\dfrac{1}{(x-2)^2}$
【答案】
(1) $-2m-6$；(2) $\dfrac{1}{(x-2)^2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，重点考察运算顺序和通分、约分的规则，计算时要注意互为相反数的因式约分时符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

4.先化简,再求值:
(1) $( \frac{1}{m-3} + \frac{1}{m+3} ) ÷ \frac{2m}{m^2 -6m +9}$,其中$m=9$;
(2) $( \frac{a-2}{a^2 +2a} - \frac{a-1}{a^2 +4a +4} ) ÷ \frac{a-4}{a+2}$,其中$a=-3$.

解:(1)原式$=\dfrac{2m}{(m-3)(m+3)}·\dfrac{(m-3)^2}{2m}=\dfrac{m-3}{m+3}$,
当$m=9$时,原式$=\dfrac{1}{2}$；
(2)原式$=[\dfrac{(a-2)(a+2)}{a(a+2)^2}-\dfrac{a(a-1)}{a(a+2)^2}]·\dfrac{a+2}{a-4}$
$=\dfrac{a-4}{a(a+2)^2}·\dfrac{a+2}{a-4}=\dfrac{1}{a(a+2)}$,
当$a=-3$时,原式$=\dfrac{1}{3}$。

【分析】
本题是分式化简求值题，遵循“先化简、再代值”的解题思路：
(1) 先算括号内的分式加法，通分后求和，再将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解，约分化简为最简分式后，代入$m=9$计算结果；
(2) 先对括号内两个分式的分母因式分解，确定最简公分母通分后计算分子的差，再将除法转化为乘法，约分化简为最简分式后，代入$a=-3$计算结果，计算全程需保证原式分母不为0。
【解析】
(1) 化简原式：
括号内通分求和：$\frac{1}{m-3}+\frac{1}{m+3}=\frac{(m+3)+(m-3)}{(m-3)(m+3)}=\frac{2m}{(m-3)(m+3)}$
将除法转为乘法，同时因式分解$m^2-6m+9=(m-3)^2$：
原式$=\frac{2m}{(m-3)(m+3)}·\frac{(m-3)^2}{2m}=\frac{m-3}{m+3}$
代入$m=9$：原式$=\frac{9-3}{9+3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
(2) 化简原式：
对括号内分式分母因式分解：$\frac{a-2}{a(a+2)}-\frac{a-1}{(a+2)^2}$
通分（最简公分母为$a(a+2)^2$）计算分子：
$=\frac{(a-2)(a+2)}{a(a+2)^2}-\frac{a(a-1)}{a(a+2)^2}=\frac{(a^2-4)-(a^2-a)}{a(a+2)^2}=\frac{a-4}{a(a+2)^2}$
将除法转为乘法：
原式$=\frac{a-4}{a(a+2)^2}·\frac{a+2}{a-4}=\frac{1}{a(a+2)}$
代入$a=-3$：原式$=\frac{1}{(-3)×(-3+2)}=\frac{1}{(-3)×(-1)}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$；(2) $\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础常规题，重点考察分式通分、约分的方法和运算顺序，解题时先对分子分母因式分解可简化计算，代入数值前可先验证原式分母不为0，避免运算无意义，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

5.仿照P142T5方法解决下列问题：
(1)已知$A=\frac{2}{x^2 -1}, B=\frac{x-1}{x^2 -2x +1}(x＜-1)$,则有()
A.$A=B$
B.$A＞B$
C.$A＜B$
D.$A≥ B$
(2)张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地.张华在前半段路程的平均行走速度是$a$ km/h,在后半段路程的平均行走速度是$b$ km/h;李明全程的平均行走速度是$\frac{a+b}{2}$ km/h.如果$a≠b$,两人谁先到达乙地?()
A.李明
B.张华
C.同时
D.不确定

(1)B
解:$A-B=\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}-\dfrac{x-1}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{1-x}{(x+1)(x-1)}=-\dfrac{1}{x+1}$,
$\because x＜-1,\therefore x+1＜0$,
$\therefore -\dfrac{1}{x+1}＞0,\therefore A＞B$。
(2)A
解:设全程为2,
$t_{张华}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b},t_{李明}=\dfrac{2}{\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{4}{a+b}$,
$\therefore \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}$
$=\dfrac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\dfrac{(a-b)^2}{ab(a+b)}＞0$。

【分析】
这两道题均采用作差法比较大小求解：
(1) 先对两个分式A、B的分母因式分解，化简B，再计算A-B，根据x＜-1的取值范围判断A-B的正负，即可得到A和B的大小关系；
(2) 先设总路程为方便计算的数值，根据“时间=路程÷速度”分别表示出张华和李明走完全程的时间，再计算两人时间的差，结合速度为正、a≠b的隐含条件判断差的正负，用时更短的人先到达。
【解析】
(1) 先对A、B因式分解化简：
$A=\frac{2}{x^2-1}=\frac{2}{(x+1)(x-1)}$，$B=\frac{x-1}{x^2-2x+1}=\frac{x-1}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}$（x＜-1满足分母不为0的要求）
计算$A-B$：
$A-B=\frac{2}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{x-1}=\frac{2-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{1-x}{(x+1)(x-1)}=-\frac{1}{x+1}$
∵ $x＜-1$，
∴ $x+1＜0$，
∴ $-\frac{1}{x+1}＞0$，即$A-B＞0$，故$A＞B$。
(2) 设甲乙两地总路程为2：
张华走完全程的时间$t_{张华}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，李明走完全程的时间$t_{李明}=\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}$
计算$t_{张华}-t_{李明}$：
$t_{张华}-t_{李明}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}$
∵ 速度a、b均为正数，且$a≠b$，
∴ $(a-b)^2＞0$，$ab＞0$，$a+b＞0$，
∴ $\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}＞0$，即$t_{张华}＞t_{李明}$，李明用时更短，先到达。
【答案】
(1)B；(2)A
【知识点】
分式化简；作差法比较大小；分式混合运算
【点评】
这两道题核心考查作差法比较大小的应用，第一题需要结合自变量范围判断差的正负，第二题需要结合行程问题的基本数量关系列式，解题关键是正确对分式通分化简，准确判断差的符号。
【难度系数】
0.7