【例1】下列选项中两个三角形全等的是（）A.①② B.②③ C.②④ D.①④

A

【分析】
解题时首先回忆全等三角形的SAS判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，注意定理中的角必须是已知两条边的夹角。我们逐个分析四个三角形的已知条件：首先判断给出的50°角是不是对应两条已知边的夹角，排除不符合SAS条件的图形，再对比剩余图形的边、角是否对应相等即可得出答案。
【解析】
根据全等三角形的SAS判定定理逐一分析：
1. 图①：已知边AB=2、AC=3，50°的∠A是AB和AC的夹角，符合“两边+夹角”的条件；
2. 图②：已知边AB=3、BC=2，50°的∠B是AB和BC的夹角，符合“两边+夹角”的条件，且两条边长度分别为2、3，夹角为50°，与图①的边、角对应相等，可通过SAS判定两三角形全等；
3. 图③：已知边AB=2、BC=3，50°的∠A不是AB和BC的夹角，属于SSA，不能判定三角形全等；
4. 图④：已知边AC=2、AB=3，50°的∠C不是AC和AB的夹角，属于SSA，不能判定三角形全等。
因此全等的两个三角形是①②，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形SAS判定、三角形边角位置判断
【点评】
本题重点考查全等三角形SAS判定的应用，易错点是混淆“夹角”和“对角”，误将SSA当做判定条件，解题时要确认已知角是两条已知边的夹角再进行判定。
【难度系数】
0.7

练习1.如图，AB，CD交于点O，OA=OB，联想“SAS”，只需补充条件，则有△AOD≌△BOC。

OD=OC

【分析】
要使用“SAS”判定△AOD≌△BOC，首先回忆SAS的判定规则：两个三角形有两组对应边相等，且这两组边的夹角也相等，即可判定全等。首先梳理已知和图形隐含条件：已知OA=OB；AB、CD交于点O，可得∠AOD与∠BOC是对顶角，因此∠AOD=∠BOC。此时已经满足一组边相等、一组夹角相等，还差夹角的另一组对应边相等，即需要OD=OC，即可凑齐SAS的全部条件。
【解析】
已知OA=OB，
∵AB与CD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
根据“SAS”全等判定要求，还需夹角∠AOD、∠BOC的另一组对应边相等，即OD=OC，
此时在△AOD和△BOC中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB\\∠AOD=∠BOC\\OD=OC\end{array} $
∴△AOD≌△BOC（SAS），故补充条件为OD=OC。
【答案】
OD=OC
【知识点】
全等三角形SAS判定；对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定中SAS的应用，解题时需注意SAS判定中“角必须是两组对应边的夹角”，结合图形隐含的对顶角相等的条件，即可快速确定需要补充的边的条件，是全等判定的基础题型。
【难度系数】
0.8

练习2.如图，$DA=DB$，$DC$平分$∠ ADB$，求证：$△ ADC ≌ △ BDC$.

证明:在△ADC 和△BDC 中，
$\begin{cases} DA=DB, \\ ∠ADC=∠BDC, \\ DC=DC, \end{cases}$
∴△ADC≌△BDC(SAS).

【分析】
要证明△ADC≌△BDC，可结合已知条件寻找全等判定需要的对应相等的元素：首先已知DA=DB，得到一组对应边相等；其次DC平分∠ADB，根据角平分线的定义可得∠ADC=∠BDC，得到一组对应角相等；最后DC是两个三角形的公共边，可得DC=DC，此时刚好满足两边及其夹角对应相等的SAS判定条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
证明:在△ADC 和△BDC 中，
$\begin{cases} DA=DB, \\ ∠ADC=∠BDC, \\ DC=DC, \end{cases}$
∴△ADC≌△BDC(SAS).
【答案】
证明:在△ADC 和△BDC 中，
$\begin{cases} DA=DB, \\ ∠ADC=∠BDC, \\ DC=DC, \end{cases}$
∴△ADC≌△BDC(SAS).
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础练习题，解题的关键是结合已知条件找准对应边、对应角，注意公共边属于题目隐含的相等条件，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9

练习3.如图，E，F是线段AB上两点，且$AE=BF$，$AD=BC$，$∠ A=∠ B$，求证：$△ ADF ≌ △ BCE$。

证明:
∵AE=BF,
∴AE+EF=BF+EF,
∴AF=BE,
在△ADF 和△BCE 中,$\begin{cases} AD=BC \\ ∠A=∠B, \\ AF=BE \end{cases}$
∴△ADF≌△BCE(SAS).

【分析】
要证明△ADF≌△BCE，首先回忆SAS全等判定定理，需要两个三角形满足两边及其夹角对应相等。题目已经给出AD=BC、∠A=∠B，已经满足一组对应边和一组对应夹角相等，接下来只需证明∠A的另一边AF、∠B的另一边BE相等即可。已知AE=BF，观察线段关系可知AF=AE+EF、BE=BF+EF，EF是公共线段，给等式AE=BF两边同时加EF就能推出AF=BE，此时全等判定的三个条件全部满足，即可用SAS证明两个三角形全等。
【解析】
证明：
∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE，
在△ADF和△BCE中，
$\begin{cases} AD=BC \\ ∠A=∠B \\ AF=BE \end{cases}$
∴△ADF≌△BCE(SAS)
【答案】
证明过程见上述解析，可证得△ADF≌△BCE。
【知识点】
线段和差计算，全等三角形SAS判定
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题型，解题的核心是借助公共线段EF，通过线段和差关系推导得到全等所需的另一组对应边相等，再结合已知条件完成全等证明，能帮助学生巩固对SAS全等判定的理解和应用。
【难度系数】
0.85

【例2】(教材P35例2题变式)如图，已知D，E分别为AB，AC上两点，AD=AE，AB=AC，求证：∠B=∠C.

证明:在△ABE 和△ACD 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAE=∠CAD, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠B=∠C.

【分析】
要证明∠B=∠C，常用方法是证明两角所在的三角形全等，利用全等三角形对应角相等推导结论。观察图形可知，∠B属于△ABE，∠C属于△ACD，接下来梳理两个三角形的全等条件：已知AB=AC、AD=AE，且两个三角形有公共角∠A，即∠BAE=∠CAD，刚好满足全等三角形的SAS判定要求，因此先证△ABE≌△ACD，即可推出∠B=∠C。
【解析】
首先确定待证角所在的两个三角形为△ABE和△ACD，整理两个三角形的对应相等条件：一是已知AB=AC，二是∠BAE和∠CAD是公共角，因此∠BAE=∠CAD，三是已知AD=AE。以上三个条件符合全等三角形的SAS判定定理，可证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形对应角相等的性质，即可得到∠B=∠C。
【答案】
证明:在△ABE 和△ACD 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAE=∠CAD, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠B=∠C.
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、公共角相等
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，核心考查对SAS判定定理的理解与应用，解题的关键是准确找到两个三角形的公共角，结合已知边相等的条件完成全等证明，对夯实全等三角形的基础应用有很好的作用。
【难度系数】
0.9

【例3】如图，△ABC与△ABD中，AC=AD，AB=AB，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等，这说明。

两边和其中一边对角分别相等的两个三角形不一定全等

【分析】
首先回忆三角形全等的SAS判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。先梳理本题中两个三角形的相等条件：公共边AB=AB，已知AC=AD，公共角∠B=∠B，可发现相等的∠B并不是两组相等边的夹角，而是相等边AC、AD的对角，也就是属于两边及其中一边的对角相等的情况，此时两个三角形不全等，由此即可推导得出对应的结论。
【解析】
已知在△ABC和△ABD中：
1. AB是两个三角形的公共边，因此AB=AB；
2. 题目给出AC=AD；
3. ∠B是两个三角形的公共角，因此∠B=∠B。
此处相等的∠B是相等边AC、AD所对的角，即相等的角是两组相等边中其中一边的对角，不符合SAS判定中“两边的夹角”的要求，且已知△ABC与△ABD不全等，因此可推出对应结论。
【答案】
两边和其中一边对角分别相等的两个三角形不一定全等
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. SAS判定定理
【点评】
本题通过具体反例辨析了三角形全等的判定条件，明确了SAS判定中“夹角”的必要性，能帮助大家区分SAS和易误用的SSA条件，是全等判定部分的典型基础题。
【难度系数】
0.8