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1 $\odot O$ 的半径 $r$ 为 5 cm, 点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 5 cm, 过点 $P$ 作直线 $l$, 则直线 $l$ 与 $\odot O$ 的公共点有
（
A.3 个
B.1 个
C.2 个
D.1 个或 2 个
（
D
）A.3 个
B.1 个
C.2 个
D.1 个或 2 个
答案
1. D
解析
【分析】
要解决本题，需先判断点P与⊙O的位置关系，再分析过圆上一点的直线与圆的公共点个数。第一步，根据点到圆心的距离与半径的大小关系确定点P在圆上；第二步，考虑过圆上一点的直线有两种位置情况，对应不同的公共点数量，进而得出结论。
【解析】
1. 确定点P的位置：已知⊙O的半径r=5cm，点P到圆心O的距离OP=5cm，因为OP=r，所以点P在⊙O上。
2. 分析直线l与⊙O的公共点个数：
若直线l是⊙O的切线，则直线l与⊙O只有1个公共点（即点P）；
若直线l不是⊙O的切线，即直线l与⊙O相交，则直线l与⊙O有2个公共点（点P和另一个交点）。
因此，直线l与⊙O的公共点有1个或2个，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系
【点评】
本题考查点、直线与圆的位置关系，核心是先确定点在圆上，再全面考虑过该点的直线与圆的两种位置情况，避免漏解，属于基础易错题。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先判断点P与⊙O的位置关系，再分析过圆上一点的直线与圆的公共点个数。第一步，根据点到圆心的距离与半径的大小关系确定点P在圆上；第二步，考虑过圆上一点的直线有两种位置情况，对应不同的公共点数量，进而得出结论。
【解析】
1. 确定点P的位置：已知⊙O的半径r=5cm，点P到圆心O的距离OP=5cm，因为OP=r，所以点P在⊙O上。
2. 分析直线l与⊙O的公共点个数：
若直线l是⊙O的切线，则直线l与⊙O只有1个公共点（即点P）；
若直线l不是⊙O的切线，即直线l与⊙O相交，则直线l与⊙O有2个公共点（点P和另一个交点）。
因此，直线l与⊙O的公共点有1个或2个，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系
【点评】
本题考查点、直线与圆的位置关系，核心是先确定点在圆上，再全面考虑过该点的直线与圆的两种位置情况，避免漏解，属于基础易错题。
【难度系数】
0.6
2 如图,在平面直角坐标系中,半径为2的$\odot P$的圆心$P$的坐标为$(-3,0)$,将$\odot P$沿$x$轴正方向平移,使$\odot P$与$y$轴相切,则平移的距离为（
A.1
B.1或5
C.3
D.5
B
）A.1
B.1或5
C.3
D.5
答案
2. B
解析
【分析】
要解决本题，需利用圆与直线相切的性质：圆与直线相切时，圆心到该直线的距离等于半径。首先明确原圆心坐标和半径，再结合平移方向，分两种情况（圆在y轴左侧相切、右侧相切）计算平移距离，避免漏解。
【解析】
已知$\odot P$的圆心$P(-3,0)$，半径为2，圆与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于半径2。设平移后圆心的坐标为$(x,0)$，则圆心到y轴的距离为$|x|=2$，解得$x=2$或$x=-2$：
1. 当$x=-2$时，平移距离为$-2 - (-3)=1$；
2. 当$x=2$时，平移距离为$2 - (-3)=5$。
因此平移的距离为1或5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆与直线相切、坐标平移
【点评】
本题考查圆的切线性质与坐标平移的结合应用，需注意分情况讨论圆在y轴两侧相切的情况，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用圆与直线相切的性质：圆与直线相切时，圆心到该直线的距离等于半径。首先明确原圆心坐标和半径，再结合平移方向，分两种情况（圆在y轴左侧相切、右侧相切）计算平移距离，避免漏解。
【解析】
已知$\odot P$的圆心$P(-3,0)$，半径为2，圆与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于半径2。设平移后圆心的坐标为$(x,0)$，则圆心到y轴的距离为$|x|=2$，解得$x=2$或$x=-2$：
1. 当$x=-2$时，平移距离为$-2 - (-3)=1$；
2. 当$x=2$时，平移距离为$2 - (-3)=5$。
因此平移的距离为1或5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆与直线相切、坐标平移
【点评】
本题考查圆的切线性质与坐标平移的结合应用，需注意分情况讨论圆在y轴两侧相切的情况，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
3 如图,$\odot O$的直径为 20 cm,弦$AB=16\ \mathrm{cm},OD⊥ AB$,垂足为 D,则 AB 沿射线 OD 的方向平移
4
cm 时,可与$\odot O$相切.答案
3. 4
解析
【分析】
要解决这个问题，需先利用垂径定理和勾股定理求出弦AB到圆心O的距离，再结合圆的半径计算AB平移到与圆相切的距离。步骤如下：1. 由圆的直径得半径，用垂径定理得弦AB的一半长度；2. 在直角三角形中用勾股定理算出弦心距OD；3. 根据圆的切线性质，平移后AB到圆心的距离等于半径，由此计算平移距离。
【解析】
已知$\odot O$的直径为20 cm，则半径$OA = \frac{20}{2} = 10$ cm。
因为$OD ⊥ AB$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以$AD = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ cm。
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$ cm。
当AB沿射线OD方向平移与$\odot O$相切时，AB到圆心O的距离等于圆的半径10 cm，因此平移的距离为$10 - 6 = 4$ cm。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的切线性质
【点评】
本题结合圆的相关性质考查计算能力，核心是利用垂径定理求弦心距，再结合切线性质得到平移距离，属于基础题型，需掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先利用垂径定理和勾股定理求出弦AB到圆心O的距离，再结合圆的半径计算AB平移到与圆相切的距离。步骤如下：1. 由圆的直径得半径，用垂径定理得弦AB的一半长度；2. 在直角三角形中用勾股定理算出弦心距OD；3. 根据圆的切线性质，平移后AB到圆心的距离等于半径，由此计算平移距离。
【解析】
已知$\odot O$的直径为20 cm，则半径$OA = \frac{20}{2} = 10$ cm。
因为$OD ⊥ AB$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以$AD = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ cm。
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$ cm。
当AB沿射线OD方向平移与$\odot O$相切时，AB到圆心O的距离等于圆的半径10 cm，因此平移的距离为$10 - 6 = 4$ cm。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的切线性质
【点评】
本题结合圆的相关性质考查计算能力，核心是利用垂径定理求弦心距，再结合切线性质得到平移距离，属于基础题型，需掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5
4 如图,点 A,B 在$\odot O$上,$∠ AOB=72^{\circ }$,直线 MN 与$\odot O$相切,切点为 C,且 C 为$\overset{\frown}{AB}$的中点,连接AC,则$∠ ACM$的度数为（
A.$18^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$72^{\circ }$
A
）A.$18^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$72^{\circ }$
答案
4. A
解析
【分析】
要解决本题，需结合圆的切线性质、弧中点的性质以及等腰三角形的角度计算推导。首先利用切线性质得到半径与切线垂直，再根据弧中点确定圆心角的度数，接着通过等腰三角形性质算出相关角度，最终求出目标角的度数。
【解析】
连接OC，
∵直线MN与⊙O相切于点C，
∴OC⊥MN，即∠OCM=90°。
∵C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×72°=36°$。
又
∵OA=OC（⊙O的半径相等），
∴△OAC是等腰三角形，
∴∠OCA=∠OAC=$\frac{180°-∠AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∴∠ACM=∠OCM - ∠OCA=90°-72°=18°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；弧中点的性质；等腰三角形内角计算
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、弧中点性质及等腰三角形角度运算，解题核心是运用圆的性质推导角度关系，步骤清晰，是典型的几何角度计算题。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合圆的切线性质、弧中点的性质以及等腰三角形的角度计算推导。首先利用切线性质得到半径与切线垂直，再根据弧中点确定圆心角的度数，接着通过等腰三角形性质算出相关角度，最终求出目标角的度数。
【解析】
连接OC，
∵直线MN与⊙O相切于点C，
∴OC⊥MN，即∠OCM=90°。
∵C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×72°=36°$。
又
∵OA=OC（⊙O的半径相等），
∴△OAC是等腰三角形，
∴∠OCA=∠OAC=$\frac{180°-∠AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∴∠ACM=∠OCM - ∠OCA=90°-72°=18°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；弧中点的性质；等腰三角形内角计算
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、弧中点性质及等腰三角形角度运算，解题核心是运用圆的性质推导角度关系，步骤清晰，是典型的几何角度计算题。
【难度系数】
0.4
5 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C$ 为 $\odot O$ 上一点, 过点 $C$ 的切线与 $A B$ 的延长线交于点 $P$. 若 $A C=P C=$$3\sqrt{3}$, 则 $P B$ 的长为
3
.答案
5. 3
解析
【分析】
要解决本题，需结合切线的性质、等腰三角形的角度关系和直角三角形的边角关系推导。首先连接切点与圆心，利用切线垂直半径的性质，再结合已知的边相等得到角相等，求出特殊角后，通过直角三角形的性质计算半径和线段长度，最终得到PB的长。
【解析】
连接OC。
1. 因为PC是$\odot O$的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，所以$OC ⊥ PC$，即$∠ OCP=90°$。
2. 由$OA=OC$，得$∠ OAC=∠ OCA$；又$AC=PC$，得$∠ P=∠ PAC$。设$∠ P=∠ PAC=x$，则$∠ COP$是$△ AOC$的外角，故$∠ COP=∠ OAC+∠ OCA=2x$。
3. 在$Rt△ OCP$中，$∠ OCP=90°$，因此$∠ COP+∠ P=90°$，即$2x+x=90°$，解得$x=30°$，所以$∠ P=30°$，$∠ COP=60°$。
4. 在$Rt△ OCP$中，$PC=3\sqrt{3}$，$\tan∠ P=\frac{OC}{PC}$，代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得$OC=\tan30° × PC=\frac{\sqrt{3}}{3} × 3\sqrt{3}=3$，即$\odot O$的半径为3，故$OB=OC=3$。
5. 在$Rt△ OCP$中，$∠ P=30°$，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得$OP=2OC=6$。
6. 因此$PB=OP-OB=6-3=3$。
【答案】
3
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、等腰三角形的角度关系及直角三角形的边角关系，关键是通过角度推导得到特殊角，进而利用直角三角形性质计算边长，需熟练掌握圆的相关性质。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合切线的性质、等腰三角形的角度关系和直角三角形的边角关系推导。首先连接切点与圆心，利用切线垂直半径的性质，再结合已知的边相等得到角相等，求出特殊角后，通过直角三角形的性质计算半径和线段长度，最终得到PB的长。
【解析】
连接OC。
1. 因为PC是$\odot O$的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，所以$OC ⊥ PC$，即$∠ OCP=90°$。
2. 由$OA=OC$，得$∠ OAC=∠ OCA$；又$AC=PC$，得$∠ P=∠ PAC$。设$∠ P=∠ PAC=x$，则$∠ COP$是$△ AOC$的外角，故$∠ COP=∠ OAC+∠ OCA=2x$。
3. 在$Rt△ OCP$中，$∠ OCP=90°$，因此$∠ COP+∠ P=90°$，即$2x+x=90°$，解得$x=30°$，所以$∠ P=30°$，$∠ COP=60°$。
4. 在$Rt△ OCP$中，$PC=3\sqrt{3}$，$\tan∠ P=\frac{OC}{PC}$，代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得$OC=\tan30° × PC=\frac{\sqrt{3}}{3} × 3\sqrt{3}=3$，即$\odot O$的半径为3，故$OB=OC=3$。
5. 在$Rt△ OCP$中，$∠ P=30°$，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得$OP=2OC=6$。
6. 因此$PB=OP-OB=6-3=3$。
【答案】
3
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、等腰三角形的角度关系及直角三角形的边角关系，关键是通过角度推导得到特殊角，进而利用直角三角形性质计算边长，需熟练掌握圆的相关性质。
【难度系数】
0.4
6 [2026 海门期中] 如图,$AB$ 为$\odot O$ 的直径,点 $C$ 在$\odot O$ 上,$∠ ACB$ 的平分线与 $AB$ 交于点 $E$,与$\odot O$ 交于点 $D$,$P$ 为 $AB$ 延长线上一点,且$∠ PCB=∠ PAC$.
(1) 试判断直线 $PC$ 与$\odot O$ 的位置关系,并说明理由；
(2) 若 $AC=8,BC=6$,求$\odot O$ 的半径及 $AD$ 的长.
(1) 试判断直线 $PC$ 与$\odot O$ 的位置关系,并说明理由；
(2) 若 $AC=8,BC=6$,求$\odot O$ 的半径及 $AD$ 的长.
答案
6. (1) PC 与$\odot O$ 相切 理由:如图,连接 OC. $\because AB$ 为$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°. \therefore ∠ CAB+∠ CBA=90°. \because OB=OC$,$\therefore ∠ OCB = ∠ OBC. \because ∠ PCB = ∠ PAC, \therefore ∠ OCP = ∠ OCB+∠ PCB = ∠ CAB+∠ CBA = 90°. \because OC$ 是$\odot O$ 的半径,$\therefore$ 直线 $PC$ 是$\odot O$ 的切线.
(2) 如图,连接 BD. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AC = 8, BC = 6, AB^2 = AC^2 + BC^2, \therefore AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10. \therefore \odot O$ 的半径为 5. $\because AB$ 为$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ADB = 90°. \because CD$ 是$∠ ACB$ 的平分线,$\therefore ∠ ACD=∠ BCD. \because ∠ BCD=∠ BAD,∠ ACD=∠ ABD$,$\therefore ∠ BAD=∠ ABD. \therefore AD = BD$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AB^2 = AD^2+BD^2=2AD^2$,$\therefore 10^2=2AD^2. \therefore AD=5\sqrt{2}$
解析
【分析】
要判断直线PC与⊙O的位置关系，需连接OC，利用直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质及已知角的等量关系，推导OC⊥PC，从而判定PC为切线；求⊙O半径时，在Rt△ABC中用勾股定理计算AB，半径为AB的一半；求AD时，利用角平分线得弧AD=弧BD，故AD=BD，再在Rt△ABD中用勾股定理计算AD。
【解析】
(1) 直线PC与⊙O相切，理由如下：
连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB + ∠CBA = 90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
又
∵∠PCB=∠PAC，
∴∠OCP = ∠OCB + ∠PCB = ∠OBC + ∠PAC = 90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线PC是⊙O的切线。
(2) 求⊙O半径及AD的长：
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，由勾股定理得：
AB = √(AC² + BC²) = √(8² + 6²) = √100 = 10，
∴⊙O的半径为AB/2 = 5。
连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD，
根据圆周角定理，∠BCD=∠BAD，∠ACD=∠ABD，
∴∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD，
在Rt△ABD中，AB²=AD² + BD²=2AD²，
即10²=2AD²，解得AD=5√2。
【答案】
⊙O的半径为5，AD的长为5√2。
【知识点】
切线的判定、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、圆周角定理及勾股定理的应用，辅助线的添加（连接OC、BD）是解题关键，需熟练运用圆的相关性质进行角的等量转换，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要判断直线PC与⊙O的位置关系，需连接OC，利用直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质及已知角的等量关系，推导OC⊥PC，从而判定PC为切线；求⊙O半径时，在Rt△ABC中用勾股定理计算AB，半径为AB的一半；求AD时，利用角平分线得弧AD=弧BD，故AD=BD，再在Rt△ABD中用勾股定理计算AD。
【解析】
(1) 直线PC与⊙O相切，理由如下：
连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB + ∠CBA = 90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
又
∵∠PCB=∠PAC，
∴∠OCP = ∠OCB + ∠PCB = ∠OBC + ∠PAC = 90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线PC是⊙O的切线。
(2) 求⊙O半径及AD的长：
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，由勾股定理得：
AB = √(AC² + BC²) = √(8² + 6²) = √100 = 10，
∴⊙O的半径为AB/2 = 5。
连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD，
根据圆周角定理，∠BCD=∠BAD，∠ACD=∠ABD，
∴∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD，
在Rt△ABD中，AB²=AD² + BD²=2AD²，
即10²=2AD²，解得AD=5√2。
【答案】
⊙O的半径为5，AD的长为5√2。
【知识点】
切线的判定、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、圆周角定理及勾股定理的应用，辅助线的添加（连接OC、BD）是解题关键，需熟练运用圆的相关性质进行角的等量转换，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
