1 (2025 宿迁宿城期末) (1) 如图 1 所示的图形我们将它称为“8 字形”，求证：$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$；
(2) 如图 2，已知 $AP$，$CP$ 分别平分 $∠ BAD$ 和 $∠ BCD$，当 $∠ D$ 和 $∠ B$ 为任意角，其他条件不变时，试写出 $∠ P$ 与 $∠ D$，$∠ B$ 之间的数量关系；
(3) 如图 3，若设 $∠ C=x$，$∠ B=y$，$∠ CAP=\frac{1}{4}∠ CAB$，$∠ CDP=\frac{1}{4}∠ CDB$，则 $∠ P$ 与 $∠ C$，$∠ B$ 之间的数量关系为(用 $x$，$y$ 的代数式表示)；
(4) 如图 4，已知直线 $BP$ 平分 $∠ ABC$，$DP$ 平分 $∠ ADC$ 的外角 $∠ ADE$，猜想 $∠ P$ 与 $∠ A$，$∠ C$ 的关系，直接写出结论.

解：(1) 因为$∠ A+∠ B+∠ AOB=180°$，$∠ C+∠ D+∠ COD=180°$，$∠ AOB=∠ COD$，
所以$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$。
(2) 设$∠ BAP=∠ PAD=x$，$∠ BCP=∠ PCD=y$，
则$\{\begin{array}{l} x+∠ B=y+∠ P\\ x+∠ P=y+∠ D\end{array} $，
所以$∠ B - ∠ P=∠ P - ∠ D$，
所以$2∠ P=∠ B+∠ D$。
(3) $∠ P=\frac{1}{4}(3x + y)$
(4) $∠ P=90°-\frac{1}{2}∠ C-\frac{1}{2}∠ A$
提示：如图，延长$AB$交$PD$于点$J$。
设$∠ PBJ=x$，$∠ ADP=∠ PDE=y$，
则$∠ A + 2x=∠ C + 180°-2y$，
所以$x + y=90°+\frac{1}{2}(∠ C - ∠ A)$。
因为$∠ P + x+∠ A + y=180°$，
所以$∠ P=90°-\frac{1}{2}∠ C-\frac{1}{2}∠ A$。

2 如图，已知 $∠ BOF=120°$，则 $∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=$.

$240°$

3 在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图所示的一个零件，若 $∠ A=52°$，$∠ B=25°$，$∠ C=30°$，$∠ D=35°$，$∠ E=72°$，则 $∠ F=$.

$70°$

4 将一个三角形纸片 $ABC$ 沿 $DE$ 折叠，使点 $A$ 落在点 $A'$ 处.(点 $A'$ 在 $△ ABC$ 的内部)
(1) 如图 1，若 $∠ A=45°$，则 $∠ 1+∠ 2=$；
(2) 利用图 1，探索 $∠ 1$，$∠ 2$ 与 $∠ A$ 之间的数量关系，并说明理由；
(3) 如图 2，将 $△ ABC$ 折叠后，$BA'$ 平分 $∠ ABC$，$CA'$ 平分 $∠ ACB$，若 $∠ 1+∠ 2=108°$，利用(2)中得出的结论求 $∠ BA'C$ 的度数.

解：(1) $90°$
(2) $∠ 1+∠ 2=2∠ A$。理由如下：
因为$∠ BDE$，$∠ CED$是$△ ADE$的两个外角，
所以$∠ BDE=∠ A+∠ AED$，$∠ CED=∠ A+∠ ADE$，
所以$∠ BDE+∠ CED=∠ A+∠ AED+∠ A+∠ ADE$，
所以$∠ 1+∠ A'DE+∠ 2+∠ A'ED=2∠ A+∠ AED+∠ ADE$，
所以$∠ 1+∠ 2=2∠ A$。
(3) 由(2)，得$2∠ A = 108°$，所以$∠ A = 54°$。
因为$BA'$平分$∠ ABC$，$CA'$平分$∠ ACB$，
所以$∠ A'BC+∠ A'CB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$，
所以$∠ BA'C=180°-(∠ A'BC+∠ A'CB)=180°-(90°-\frac{1}{2}∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A=90°+\frac{1}{2}×54°=117°$。