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1. “新运算”型
【例1】用“△”定义一种新运算:对于任意有理数$a,b$,规定:$a△b=ab^2-2ab+a$,例如,$1△2=1×2^2-2×1×2+1=1$.
(1)求$(-2)△3$的值;
(2)求$\frac{a}{2}△3$的值;
(3)若$(x-1)△5=4$,求$x$的值.
【点拨】(1)、(2)按照定义的新运算进行计算即可;(3)按照定义的新运算,列出关于$x$的方程,然后解方程即可求出$x$的值.
【解答】
【例1】用“△”定义一种新运算:对于任意有理数$a,b$,规定:$a△b=ab^2-2ab+a$,例如,$1△2=1×2^2-2×1×2+1=1$.
(1)求$(-2)△3$的值;
(2)求$\frac{a}{2}△3$的值;
(3)若$(x-1)△5=4$,求$x$的值.
【点拨】(1)、(2)按照定义的新运算进行计算即可;(3)按照定义的新运算,列出关于$x$的方程,然后解方程即可求出$x$的值.
【解答】
答案
(1)$(-2)△3 = (-2)×3^2 -2×(-2)×3 + (-2) = -18+12-2=-8$.
(2)$\frac{a}{2}△3 = \frac{a}{2}×3^2 -2×\frac{a}{2}×3 + \frac{a}{2} = \frac{9}{2}a -3a + \frac{a}{2}=2a$.
(3)$\because (x-1)△5 = 25(x-1)-10(x-1)+x-1 = 25x-25-10x+10+x-1=16x-16$,
$\therefore 16x-16=4$,解得$x=\frac{5}{4}$.
(2)$\frac{a}{2}△3 = \frac{a}{2}×3^2 -2×\frac{a}{2}×3 + \frac{a}{2} = \frac{9}{2}a -3a + \frac{a}{2}=2a$.
(3)$\because (x-1)△5 = 25(x-1)-10(x-1)+x-1 = 25x-25-10x+10+x-1=16x-16$,
$\therefore 16x-16=4$,解得$x=\frac{5}{4}$.
