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11. 新题型 新运算（2026·平顶山期中）从$n$个不同元素中取出$m$个元素的所有不同组合的个数，叫作从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数，用符号$\mathrm{C}_{n}^{m}$表示.已知“！”是一种数学运算符号，且$1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1=24,···$,若公式$\mathrm{C}_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}(n≥ m,m,n为正整数)$,则$\mathrm{C}_{7}^{5}$为
21
.答案
11.21 解析:因为$\mathrm{C}_{n}^{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$($n≥ m,m,n$ 为正整数),所以$\mathrm{C}_{7}^{5}=\dfrac{7!}{5!(7-5)!}=\dfrac{7×6×5×4×3×2×1}{5×4×3×2×1×2×1}=21$.
12. 计算：
(1) $[-2^4 ÷ (-2 \dfrac{2}{3})^2 - \dfrac{11}{2}] ÷ \dfrac{1}{12}$；
(2) $\left| -\dfrac{5}{7} \right| × ( \dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{3} ) ÷ ( -\dfrac{2}{3} )^2 - ( \dfrac{1}{2} )^2$。
(1) $[-2^4 ÷ (-2 \dfrac{2}{3})^2 - \dfrac{11}{2}] ÷ \dfrac{1}{12}$；
(2) $\left| -\dfrac{5}{7} \right| × ( \dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{3} ) ÷ ( -\dfrac{2}{3} )^2 - ( \dfrac{1}{2} )^2$。
答案
12.(1)原式$=[-16÷(-\dfrac{8}{3})^2-\dfrac{11}{2}]÷\dfrac{1}{12}=(-16×\dfrac{9}{64}-\dfrac{11}{2})×12=-\dfrac{31}{4}×12=-93$.
(2)原式$=\dfrac{5}{7}×(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{3})÷(-\dfrac{2}{3})^2-(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{5}{7}×\dfrac{7}{15}÷\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}×\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$.
(2)原式$=\dfrac{5}{7}×(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{3})÷(-\dfrac{2}{3})^2-(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{5}{7}×\dfrac{7}{15}÷\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}×\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$.
13. (2026·镇江期中)阅读材料:
求值:$1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^{10}$.
解:设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^{10}$ ①,
得$3S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+···+3^{10}+3^{11}$ ②,
②-①,得
$3S-S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+···+3^{10}+3^{11}-(1+3+$
$3^2+3^3+3^4+···+3^{10})=3^{11}-1$,所以$S=\frac{3^{11}-1}{2}$.
请你仿照此法计算:
$1+5+5^2+5^3+5^4+···+5^{100}$.
求值:$1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^{10}$.
解:设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^{10}$ ①,
得$3S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+···+3^{10}+3^{11}$ ②,
②-①,得
$3S-S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+···+3^{10}+3^{11}-(1+3+$
$3^2+3^3+3^4+···+3^{10})=3^{11}-1$,所以$S=\frac{3^{11}-1}{2}$.
请你仿照此法计算:
$1+5+5^2+5^3+5^4+···+5^{100}$.
答案
13.设$S=1+5+5^2+5^3+…+5^{100}$ ①,将等式两边同时乘5,得$5S=5+5^2+5^3+5^4+5^5+…+5^{100}+5^{101}$ ②,②-①,得$5S-S=5+5^2+5^3+5^4+5^5+…+5^{100}+5^{101}-(1+5+5^2+5^3+5^4+…+5^{100})=5^{101}-1$,所以$S=\dfrac{5^{101}-1}{4}$.
14. 新考法（2025·南通校级月考）取一个自然数,若它是奇数,则加上1,若它是偶数,则除以2,按此规则经过若干步的计算最终可得到1(注:计算到1结束).这个结论在数学上还没有得到证明,但举例验证都是正确的.例如,取自然数5,经过下面5步运算可得1,如图所示.如果自然数m恰好经过5步运算可得到1,那么所有符合条件的m的值有 (
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
)A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
14.C 解析:设自然数$m$为第一个数,经过1步运算得到的数为第二个数,以此类推,经过5步运算得到的1为第六个数,则第五个数为$1×2=2$,第四个数为$2×2=4$.①若第三个数是奇数,则第三个数为$4-1=3$,所以第二个数为$3×2=6$,所以第一个数$m=6-1=5$或$m=6×2=12$;②若第三个数是偶数,则第三个数为$4×2=8$,所以第二个数为$8×2=16$或$8-1=7$,所以第一个数$m=16-1=15$或$m=16×2=32$或$m=7×2=14$.综上,所有符合条件的$m$的值为5,12,14,15,32,共有5个.故选C.
15. 观察下列各式：
$1^3 = 1 = \frac{1}{4}×1^2×2^2$；
$1^3 + 2^3 = 9 = \frac{1}{4}×2^2×3^2$；
$1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = \frac{1}{4}×3^2×4^2$；
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100 = \frac{1}{4}×4^2×5^2$；
…
回答下面的问题：
(1) $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 =$
(2) 计算 $1^3 + 2^3 + 3^3 + … + 99^3 + 100^3$ 的值；
(3) 计算 $11^3 + 12^3 + … + 99^3 + 100^3$ 的值.
$1^3 = 1 = \frac{1}{4}×1^2×2^2$；
$1^3 + 2^3 = 9 = \frac{1}{4}×2^2×3^2$；
$1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = \frac{1}{4}×3^2×4^2$；
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100 = \frac{1}{4}×4^2×5^2$；
…
回答下面的问题：
(1) $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 =$
$\dfrac{1}{4}×5^2×6^2$
；(写出算式即可)(2) 计算 $1^3 + 2^3 + 3^3 + … + 99^3 + 100^3$ 的值；
(3) 计算 $11^3 + 12^3 + … + 99^3 + 100^3$ 的值.
答案
15.(1)$\dfrac{1}{4}×5^2×6^2$ 解析:观察规律可得$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=\dfrac{1}{4}×5^2×6^2$.
(2)$1^3+2^3+3^3+…+99^3+100^3=\dfrac{1}{4}×100^2×101^2=25\ 502\ 500$.
(3)原式$=\dfrac{1}{4}×100^2×101^2-\dfrac{1}{4}×10^2×11^2=25\ 502\ 500-3\ 025=25\ 499\ 475$.
(2)$1^3+2^3+3^3+…+99^3+100^3=\dfrac{1}{4}×100^2×101^2=25\ 502\ 500$.
(3)原式$=\dfrac{1}{4}×100^2×101^2-\dfrac{1}{4}×10^2×11^2=25\ 502\ 500-3\ 025=25\ 499\ 475$.
