9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$和$BE$是高,它们相交于点$H$,且$AE=BE$,求证:$AH=2BD$。

9.证明略,提示:$△ AHE≌△ BCE$,得$AH=BC$,再利用三线合一得$BC=2BD$,$\therefore AH=2BD$。

10. 如图,在四边形ABDC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,AD=BD。求证:CD⊥AC。

10.证明:取AB的中点M,连结DM(图略),$\because AD=BD$,
$\therefore DM⊥ AB$,且$AM=BM$,$\because AB=2AC$,$\therefore AM=AC$,
$\because AD$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ MAD=∠ CAD$,又$AD=AD$,
$\therefore △ AMD≌△ ACD$,$\therefore ∠ ACD=∠ AMD=90°$,即$CD⊥ AC$。

11. 在边长为4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积。(以下的图供备用，画出符合要求的所有情形，并在下面注上三角形的面积)

S=
S=
S=
S=
S=
S=

解：
所有符合要求的等腰三角形共6种情形，对应面积如下：
1. 以矩形的直角顶点为等腰直角顶点，两条腰长均等于矩形的宽4，分别落在矩形相邻的两条边上，第三个顶点在矩形的长边上：
$S=\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$
2. 在矩形的另一组相邻边上作上述同类型等腰直角三角形：
$S=\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$
3. 以矩形的长为等腰三角形的底边，第三个顶点落在该底边对边的中点处：
$S=\frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$
4. 以矩形的宽为等腰三角形的底边，第三个顶点落在该底边对边的中点处：
$S=\frac{1}{2} × 4 × 6 = 12$
5. 以矩形的长为等腰三角形的腰，顶点为矩形的一个端点，另一腰端点落在矩形的对边上：
$S=\frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$
6. 以矩形的长为等腰三角形的腰，顶点为矩形的另一个端点，另一腰端点落在矩形的对边上：
$S=\frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$
最终6个面积依次为：$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{12}$
（注：不同位置的同面积等腰三角形画法不同，均符合题目要求）