7 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$∠ ACB=∠ DFE=90°,AB=DE$ 且$AB⊥ DE$.若$AC=6$,$EF=4,CF=3$,则$BD$的长为.

7. 7

【分析】要计算BD的长度，需先通过垂直关系推导角相等，证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形的对应边相等得到线段长度，最后结合线段的和差关系计算BD。首先，由AB⊥DE可得∠D + ∠B=90°，结合Rt△ABC中∠A + ∠B=90°，推出∠D=∠A；再根据已知的直角和AB=DE，证明△ABC≌△DEF；最后利用对应边相等求出DF、BC的长度，再结合CF的长度计算BD。
【解析】
1. 推导角相等：设AB与DE交于点G，因为AB⊥DE，所以∠DGB=90°，故∠D + ∠B=90°。在Rt△ABC中，∠ACB=90°，因此∠A + ∠B=90°，所以∠D=∠A。
2. 证明三角形全等：在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l} ∠A=∠D \\ ∠ACB=∠DFE \\ AB=DE \end{array} $
所以△ABC≌△DEF（AAS）。
3. 求对应边长度：由全等得AC=DF=6，BC=EF=4。
4. 计算BD：因为点D、C、F、B在同一直线上，所以DC=DF - CF=6 - 3=3，又CB=4，因此BD=DC + CB=3 + 4=7。
【答案】7
【知识点】全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】本题通过垂直关系构造等角，利用AAS证明全等三角形，再结合线段和差求解，是全等三角形在几何计算中的典型应用，需注意对应边的准确识别。
【难度系数】0.6

8 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$AC=BC$,点$C$的坐标为$(-2,0)$,点$A$的坐标为$(-6,3)$,则点$B$的坐标为.

8. (1,4) 【解析】如图,过点 A 作$AD⊥x$轴于点 D,过点 B 作$BE⊥x$轴于点 E. $\therefore ∠ADC=∠CEB=90°. \therefore ∠ACD+∠CAD=90°. \because ∠ACB=90°, \therefore ∠ACD+∠BCE=90°.$
$\therefore ∠CAD=∠BCE.$ 在$△ CAD$ 和$△ BCE$ 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠CAD=∠BCE, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ CAD≌△ BCE. \therefore AD=CE,CD=BE. \because A(-6,3),C(-2,0),\therefore OD=6,OC=2,AD=3. \therefore CD=OD-OC=4,$
$CE=3,BE=4. \therefore OE=CE-OC=1. \therefore$ 点 B 的坐标为$(1,4).$

【分析】要确定点B的坐标，需结合等腰直角三角形的性质，通过构造直角三角形证明全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合坐标的几何意义计算线段长度，进而得到点B的坐标。具体思路：过点A、B分别作x轴的垂线，构造两个直角三角形，证明这两个三角形全等，再根据已知点的坐标求出对应线段的长度，从而确定点B的横、纵坐标。
【解析】如图，过点A作$AD⊥x$轴于点D，过点B作$BE⊥x$轴于点E。
$\therefore ∠ADC=∠CEB=90°$，
$\therefore ∠ACD + ∠CAD = 90°$。
$\because ∠ACB=90°$，
$\therefore ∠ACD + ∠BCE = 90°$，
$\therefore ∠CAD = ∠BCE$。
在$△CAD$和$△BCE$中，
$\begin{cases}∠ADC=∠CEB \\∠CAD=∠BCE \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △CAD≌△BCE（AAS）$，
$\therefore AD=CE，CD=BE$。
已知点$A(-6,3)$，$C(-2,0)$，则$OD=6$，$OC=2$，$AD=3$，
$\therefore CD=OD - OC = 6 - 2 = 4$，
$\therefore BE=CD=4$；
又$\because AD=CE=3$，
$\therefore OE=CE - OC = 3 - 2 = 1$，
$\therefore$点B的坐标为$(1,4)$。
【答案】(1,4)
【知识点】全等三角形判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形性质
【点评】本题主要考查利用全等三角形解决坐标问题，关键是通过作辅助线构造全等三角形，结合坐标的几何意义计算线段长度，难度适中，属于中等题型。
【难度系数】0.6

9 [2026 海安期中] 如图,点 E,C,D,A 在同一条直线上,$AB// DF$,$AB=DE$,$∠ B=∠ E$,线段 BC与线段 DF 交于点 G.
(1) 求证:$△ ABC≌△ DEF$;
(2) 若$∠ BGF=38°$,$∠ A=82°$,求$∠ F$的度数.

9. (1) $\because AB// DF,\therefore ∠A=∠EDF.$ 在$△ ABC$ 和$△ DEF$ 中,
$\begin{cases} ∠A=∠EDF, \\ AB=DE, \\ ∠B=∠E, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF$
(2) 由(1)知,$△ ABC≌△ DEF,\therefore ∠F=∠ACB. \because AB// DF,∠BGF=38°,\therefore ∠B=∠BGF=38°.$ 在$△ ABC$ 中,$∠ACB=180°-∠B-∠A=60°,$
$\therefore ∠F=∠ACB=60°$

【分析】
要解决本题，首先利用平行线的性质得到相等的角，结合已知条件用ASA判定三角形全等；再利用全等三角形对应角相等，结合平行线的性质和三角形内角和定理计算角度。具体步骤：
1. 证明△ABC≌△DEF：由AB//DF得∠A=∠EDF，结合已知AB=DE、∠B=∠E，用ASA完成全等证明；
2. 求∠F的度数：利用全等得∠F=∠ACB，再由AB//DF得∠B=∠BGF，最后在△ABC中用内角和公式计算∠ACB，即可得到∠F的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//DF，
∴ ∠A = ∠EDF（两直线平行，同位角相等）。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases}∠A = ∠EDF, \\AB = DE, \\∠B = ∠E,\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）。
(2) 解：
由(1)知△ABC≌△DEF，
∴ ∠F = ∠ACB。
∵ AB//DF，
∴ ∠B = ∠BGF = 38°（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠ACB = 180° - ∠B - ∠A = 180° - 38° - 82° = 60°，
∴ ∠F = ∠ACB = 60°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ∠F=60°
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定（ASA），三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，结合平行线性质与三角形内角和，重点考察学生对全等判定定理及相关性质的掌握，解题思路清晰，步骤明确，属于常规中档题型。
【难度系数】
0.6

10 教材 P60 复习题 14 第 11 题变式 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$ 的直角顶点 $C$ 在直线 $l$ 上，$AC=BC$，过 $A$，$B$ 两点分别作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $D,E$.
(1) 请你在图中找出一对全等三角形，并加以证明；
(2) 若 $BE=3,DE=5$，求 $AD$ 的长.

10. (1) $△ ACD≌△ CBE$ $\because ∠ACB=90°, \therefore ∠ACD+∠ECB=90°. \because AD⊥CE,BE⊥CE,\therefore ∠ADC=∠CEB=90°. \therefore ∠ACD+∠DAC=90°. \therefore ∠ECB=∠DAC.$ 在$△ ACD$ 和 $△ CBE$ 中,
$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠DAC=∠ECB, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE$
(2) $\because △ ACD≌△ CBE,\therefore CD=BE=3,AD=CE.$ 又$\because CE=CD+DE=3+5=8,\therefore AD=8$

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需结合等腰直角三角形的直角性质、垂直的直角条件，利用同角的余角相等推导对应角相等，结合已知边相等，用全等三角形的判定定理证明全等；第(2)问利用第(1)问全等三角形的对应边相等，结合线段和差关系计算AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACD + ∠ECB = 90°。
∵ AD⊥直线l，BE⊥直线l，
∴ ∠ADC = ∠CEB = 90°，
∴ 在Rt△ACD中，∠ACD + ∠DAC = 90°，
∴ ∠DAC = ∠ECB。
在△ACD和△CBE中，
$\begin{cases}∠ADC = ∠CEB \\∠DAC = ∠ECB \\AC = CB\end{cases}$
∴ △ACD ≌ △CBE（AAS）。
(2) 解：
∵ △ACD ≌ △CBE，
∴ CD = BE = 3，AD = CE。
又
∵ CE = CD + DE = 3 + 5 = 8，
∴ AD = 8。
【答案】
(1) △ACD≌△CBE，证明见解析；(2) AD的长为8。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），等腰直角三角形性质，线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形的典型应用，通过垂直条件和直角三角形的余角关系推导对应角相等，结合等腰直角三角形的边相等证明全等，再利用全等的性质求线段长度，属于基础几何题，考查学生对全等判定及性质的掌握。
【难度系数】
0.5

11 如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,连接 BE,CD 交于点 F.已知 $AB=AC,∠ B=∠ C$.
(1) 求证:$BD=CE$;
(2) 求证:$△ BDF ≌ △ CEF$;
(3) 连接 AF,求证:AF 平分$∠ BAC$.

11. (1) 在 $△ ABE$ 和 $△ ACD$ 中, $\begin{cases} ∠B=∠C, \\ AB=AC, \\ ∠BAE=∠CAD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD. \therefore AE=AD. \therefore AB-AD=AC-AE$,即$BD=CE$
(2) 在$△ BDF$ 和$△ CEF$ 中,$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ ∠BFD=∠CFE, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CEF$
(3) 由(2),知$△ BDF≌△ CEF,\therefore BF=CF.$在$△ ABF$ 和$△ ACF$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠B=∠C, \\ BF=CF, \end{cases}$$\therefore △ ABF≌△ ACF.$
$\therefore ∠BAF=∠CAF$,即 AF 平分$∠BAC$

【分析】
要完成这三个证明，我们可逐步利用三角形全等的判定定理推导：
1. 证BD=CE：先通过已知的∠B=∠C、AB=AC，加上公共角∠BAE=∠CAD，证明△ABE≌△ACD，得到AE=AD，再结合AB=AC，用等式性质推出BD=CE；
2. 证△BDF≌△CEF：已有∠B=∠C、BD=CE，加上对顶角∠BFD=∠CFE，用AAS判定定理即可证明；
3. 证AF平分∠BAC：需证∠BAF=∠CAF，由△BDF≌△CEF得BF=CF，再结合AB=AC、∠B=∠C，用SAS证明△ABF≌△ACF，对应角相等即可得结论。
【解析】
(1) 在$△ABE$和$△ACD$中，
$\begin{cases}∠B=∠C, \\AB=AC, \\∠BAE=∠CAD,\end{cases}$
$\therefore △ABE≌△ACD$（ASA），
$\therefore AE=AD$，
又$\because AB=AC$，
$\therefore AB - AD = AC - AE$，即$BD=CE$；
(2) 在$△BDF$和$△CEF$中，
$\begin{cases}∠B=∠C, \\∠BFD=∠CFE, \\BD=CE,\end{cases}$
$\therefore △BDF≌△CEF$（AAS）；
(3) 由(2)知$△BDF≌△CEF$，$\therefore BF=CF$，
在$△ABF$和$△ACF$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\∠B=∠C, \\BF=CF,\end{cases}$
$\therefore △ABF≌△ACF$（SAS），
$\therefore ∠BAF=∠CAF$，即AF平分$∠BAC$。
【答案】
11. (1) 在 $△ ABE$ 和 $△ ACD$ 中, $\begin{cases} ∠B=∠C, \\ AB=AC, \\ ∠BAE=∠CAD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD. \therefore AE=AD. \therefore AB-AD=AC-AE$,即$BD=CE$
(2) 在$△ BDF$ 和$△ CEF$ 中,$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ ∠BFD=∠CFE, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CEF$
(3) 由(2),知$△ BDF≌△ CEF,\therefore BF=CF.$在$△ ABF$ 和$△ ACF$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠B=∠C, \\ BF=CF, \end{cases}$$\therefore △ ABF≌△ ACF.$
$\therefore ∠BAF=∠CAF$,即 AF 平分$∠BAC$
【知识点】
三角形全等判定、角平分线定义
【点评】
本题是三角形全等的基础综合题，通过三步递进的证明，考察学生对ASA、AAS、SAS全等判定定理的掌握与运用，逻辑清晰，是巩固全等知识的典型题型。
【难度系数】
0.6