1. 如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,且DE//BC,若$\frac{AD}{AB}= \frac{4}{5}$,则$\frac{AC}{CE}= $()

A.$\frac{9}{4}$
B.5
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{9}{5}$

E（即选项中的B，因为选项一般为A,B,C,D,E...排列，本题答案对应为B选项）

由于$DE// BC$，
根据平行线性质，有$\triangle ADE\sim \triangle ABC$，
$\frac{AD}{AB} =\frac{AE}{AC} $，
已知$\frac{AD}{AB} =\frac{4}{5} $，则$\frac{AE}{AC} =\frac{4}{5} $，
设$AE=4x$，则$AC=5x$，
由于$EC=AC-AE$，
$EC=5x-4x=x$，
$\frac{AC}{CE} =\frac{5x}{x}=5$。

2. 如图,点G是△ABC的重心,过G作GE//BC,交AB于E,则GE：BC的值为.

2:3

连接AG并延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，∴AG:AD=2:3。∵GE//BC，∴△AEG∽△ABC，∴GE:BC=AG:AD=2:3。

3. 如图,正方形ABCD的边长为2,AE= EB,MN= 1,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当CM= 时,△ADE与△MNC相似.

√5/5或2√5/5

∵正方形ABCD边长为2，AE=EB，∴AE=EB=1，△ADE为Rt△，∠A=90°，直角边AE=1，AD=2.
∵M在CB上，N在CD上，∴△MNC为Rt△，∠C=90°，设CM=x，则CN=√(1-x²)(MN=1，勾股定理).
Rt△ADE与Rt△MNC相似，分两种情况：
1. AE/CM=AD/CN，即1/x=2/√(1-x²)，解得x=√5/5；
2. AE/CN=AD/CM，即1/√(1-x²)=2/x，解得x=2√5/5.

4. 如图,在⊙O中,弦AC与BD交于E,AB= 6,AE= 8,DE= 6,求CD的长.

∵∠A=∠D，∠B=∠C（同弧所对的圆周角相等），
∴△AEB∽△DEC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AB}{CD}$。
∵AE=8，DE=6，AB=6，
∴$\frac{8}{6}=\frac{6}{CD}$。
解得$CD=\frac{6×6}{8}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$。
$\boxed{\frac{9}{2}}$

在⊙O中，因为∠A=∠D，∠B=∠C，所以△ABE∽△DCE。
所以$\frac{AB}{DC}=\frac{AE}{DE}$。
已知AB=6，AE=8，DE=6，
则$\frac{6}{CD}=\frac{8}{6}$，
解得$CD=\frac{6×6}{8}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$。
$\frac{9}{2}$

5. 如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,AD,A′D′分别是边BC,B′C′上的中线.求证：$\frac{AD}{A'D'}= k$.

∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，∠B=∠B′。
∵AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，B′D′=$\frac{1}{2}$B′C′，
∴$\frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=k$。
在△ABD和△A′B′D′中，
$\left\{\begin{array}{l}\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=k\\ \angle B=\angle B'\end{array}\right.$，
∴△ABD∽△A′B′D′（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{A'D'}=k$。