6. 已知二次函数 $ y= ax^{2}+c $,当 x 取 $ x_{1},x_{2}(x_{1}\neq x_{2}) $ 时,函数值相等,则当 x 取 $ x_{1}+x_{2} $ 时,函数值为 ()
A.$ a+c $
B.$ a-c $
C.$ -c $
D.c

D

已知二次函数$ y = ax^2 + c ，$当 x 取$ x_1 $和$ x_2 $时，函数值相等，即：
$ a x_1^2 + c = a x_2^2 + c $化简得：$ a x_1^2 = a x_2^2 $
由于$ a \neq 0 ，$且$ x_1 \neq x_2 ，$则$ x_1 = -x_2 ，$即$ x_1 + x_2 = 0 。$
当$ x = x_1 + x_2 = 0 $时，函数值为：
$ y = a \cdot 0^2 + c = c $

7. 在平面直角坐标系中,抛物线 $ y= (x+5)(x-3) $ 经变换后得到抛物线 $ y= (x+3)(x-5) $,则这个变换可以是 ()
A.向左平移 2 个单位长度
B.向右平移 2 个单位长度
C.向左平移 8 个单位长度
D.向右平移 8 个单位长度

B

首先，将给定的两个抛物线方程展开为标准形式：
原抛物线 $y = (x + 5)(x - 3)$ 可以展开为 $y = x^2 + 2x - 15$，
通过配方得到 $y = (x + 1)^2 - 16$。
新抛物线 $y = (x + 3)(x - 5)$ 可以展开为 $y = x^2 - 2x - 15$，
通过配方得到 $y = (x - 1)^2 - 16$。
接下来，比较两个抛物线的顶点坐标：
原抛物线的顶点坐标为 $(-1, -16)$，
新抛物线的顶点坐标为 $(1, -16)$。
由于两个抛物线的顶点坐标的横坐标相差 $2$（即 $1 - (-1) = 2$），且纵坐标相同，因此可以判断新抛物线是由原抛物线向右平移 $2$ 个单位长度得到的。

8. 已知抛物线 $ y= ax^{2}(a＞0) $ 过 A(-2,y_1),B(1,y_2)两点,则下列关系式正确的是 ()
A.$ y_{1}＞0＞y_{2} $
B.$ y_{2}＞0＞y_{1} $
C.$ y_{1}＞y_{2}＞0 $
D.$ y_{2}＞y_{1}＞0 $

C

因为抛物线 $ y = ax^2 $ 中 $ a ＞ 0 $，所以抛物线开口向上，顶点在原点，当 $ x \neq 0 $ 时，$ y ＞ 0 $。
将 $ A(-2, y_1) $ 代入得 $ y_1 = a(-2)^2 = 4a $；
将 $ B(1, y_2) $ 代入得 $ y_2 = a(1)^2 = a $。
因为 $ a ＞ 0 $，所以 $ 4a ＞ a ＞ 0 $，即 $ y_1 ＞ y_2 ＞ 0 $。

9. 某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试. 飞机着陆后滑行的距离 s(单位：m)关于滑行的时间 t(单位：s)的函数解析式是 $ s= -\frac{3}{2}t^{2}+60t $,则 t 的取值范围是 ()
A.$ 0\leq t\leq20 $
B.$ 0\leq t\leq40 $
C.$ 20\leq t\leq40 $
D.$ 0\leq t\leq600 $

B

令$s=0$，则$-\frac{3}{2}t^{2}+60t=0$，解得$t_1=0$，$t_2=40$。因为飞机着陆后滑行到停止时$s$不再变化，该函数为开口向下的抛物线，对称轴为$t=-\frac{60}{2×(-\frac{3}{2})}=20$，此时$s$取得最大值，之后$s$随$t$增大而减小，直到$t=40$时$s=0$，滑行停止。所以$t$的取值范围是$0\leq t\leq40$。

10. 已知二次函数 $ y= ax^{2}-2ax+c $,当 $ -3＜x＜-2 $ 时,$ y＞0 $；当 $ 3＜x＜4 $ 时,$ y＜0 $,则 a 与 c 满足的关系式是 ()
A.$ c= -15a $
B.$ c= -8a $
C.$ c= -3a $
D.$ c= a $

1. 首先求二次函数对称轴：
对于二次函数$y = ax^{2}-2ax + c$，其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，这里$b = - 2a$，则对称轴$x =-\frac{-2a}{2a}=1$。
2. 然后根据函数的对称性：
因为二次函数图象关于对称轴对称，已知当$-3\lt x\lt - 2$时，$y\gt0$；当$3\lt x\lt4$时，$y\lt0$。
那么$x=-2$与$x = 4$关于对称轴$x = 1$对称（$\frac{-2 + 4}{2}=1$）。
所以$x=-2$和$x = 4$对应的函数值符号相反，且$x=-2$时，$y = 0$（因为$-3\lt x\lt - 2$时$y\gt0$，$x=-2$是函数值由正变负的边界点）。
3. 最后将$x=-2$代入函数：
把$x=-2$代入$y=ax^{2}-2ax + c$中，得到$y=a×(-2)^{2}-2a×(-2)+c$。
即$y = 4a + 4a + c$。
因为$x=-2$时，$y = 0$，所以$4a+4a + c=0$。
合并同类项得$8a + c=0$，移项可得$c=-8a$。
综上，$a$与$c$满足的关系式是$c=-8a$，答案是B。

由二次函数 $y = ax^2 - 2ax + c$，其对称轴为 $x = -\frac{-2a}{2a} = 1$。
根据题意，当 $-3 ＜x ＜ -2$ 时，$y ＞ 0$；当 $3 ＜ x ＜ 4$ 时，$y ＜ 0$。
由于对称轴 $x = 1$，可知函数图像关于 $x = 1$ 对称。
因此，当 $x = -3$ 和 $x = 5$ 时，函数值相等（因为 $-3$ 和 $5$ 关于 $x = 1$ 对称，但此题未给出$x=5$的情况，需要根据题目条件判断）。
同理，$x = -2$ 和 $x = 4$ 时的函数值也相等（且相等值小于0，因为$-2$关于对称轴对称的点是$4$，且题目给出$3＜x＜4$时函数值小于0，可以推断出$x=4$时函数值也小于0）。
由于 $x = -2$ 时 $y ＞ 0$ 的右侧临界点和 $x = 4$ 时 $y ＜ 0$ 的左侧临界点，可以推断出抛物线开口向下，即 $a ＜ 0$。
设 $x = -2$ 时，$y = 4a + 4a + c = 8a + c = 0$ （因为 $x = -2$ 是 $y$ 从正变为负的临界点，但题目只给出$y＞0$，所以应理解为临界点函数值为0的情况，即该点为函数图像与x轴交点，同理$x=4$也是）。
同时，由于 $x = 4$ 时，$y = 16a - 8a + c = 8a + c$，由于抛物线开口向下且$x=4$时函数值小于0，但此点并不与前面推导冲突，因为前面已经得出$8a+c=0$，而该点函数值也由这个表达式给出，即也为0（但题目只要求小于0的区间，所以此点函数值不影响最终求解，只需知道它是函数与x轴的另一个交点即可）。
由 $8a + c = 0$，解得 $c = -8a$。

11. 请写出一个二次函数解析式,使其图象的对称轴为 y 轴：.

$y = x^{2}$（答案不唯一）

二次函数的一般形式为$y = ax^{2} + bx + c$，其对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$。
因为图象的对称轴为$y$轴，即$x = 0$，所以$-\frac{b}{2a}=0$，由于$a\neq0$，则$b = 0$。
那么满足条件的二次函数可以为$y = x^{2}$（答案不唯一）。

12. 已知抛物线 $ y= x^{2}-7x+6 $ 与 x 轴的交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,则△ABC 的面积为.

15

1. 求抛物线与x轴的交点：令 $y = 0$，解方程 $x^{2} - 7x + 6 = 0$。
通过因式分解得 $(x - 1)(x - 6) = 0$，解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 6$。
因此，交点A和B的坐标分别为 $A(1, 0)$，$B(6, 0)$。
2. 求抛物线与y轴的交点：令 $x = 0$，得 $y = 6$。
因此，交点C的坐标为 $C(0, 6)$。
3. 计算三角形ABC的面积：
$AB$ 的长度为 $6 - 1 = 5$，
$C$ 点到 $x$ 轴的距离（即高）为 $6$。
因此，三角形 $ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2} × 5 × 6 = 15$。

13. 把二次函数 $ y= 2x^{2} $ 的图象先向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,平移后得到的二次函数图象对应的解析式为.

$y = 2(x + 1)^{2} - 2$

原函数为 $y = 2x^{2}$。
向左平移1个单位长度，x替换为 $x + 1$，得到新的函数 $y = 2(x + 1)^{2}$。
再向下平移2个单位长度，即在上述函数表达式中减去2，得到 $y = 2(x + 1)^{2} - 2$。

14. 已知某抛物线上部分点的横坐标 x、纵坐标 y 的对应值如下表,那么该抛物线的顶点坐标是.
| x | ... | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ... |
| y | ... | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | ... |

$(1, -4)$

由表格可知，当 $x = 0$ 时，$y = -3$；当 $x = 2$ 时，$y = -3$，
所以抛物线的对称轴为$x =\frac{0+2}{2}= 1$，
因为当 $x = 1$ 时，$y = -4$，即对称轴处函数值最小，
所以$x = 1$ 是抛物线的顶点横坐标，
顶点的纵坐标为 $y = -4$。
所以顶点坐标为 $(1, -4)$。