5. 如图,在菱形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,射线 CE 交 BA 的延长线于点 F.若$\frac{AE}{ED}= \frac{1}{2}$,AB= 3,则 AF 的长为()

A.1
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.2

C

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=3，AB//CD。
∵$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$，设AE=x，则ED=2x，AE+ED=AD=3，即x+2x=3，解得x=1，∴AE=1，ED=2。
∵AB//CD，∴△FAE∽△FDC（对应角相等）。
∴$\frac{FA}{FD}=\frac{AE}{DC}$。
设AF=y，则FD=FA+AD=y+3，DC=AB=3。
∴$\frac{y}{y+3}=\frac{1}{3}$，解得3y=y+3，2y=3，y=$\frac{3}{2}$。

6. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 6,BC= 12,点 D 在边 BC 上,点 E 在线段 AD 上,EF⊥AC 于点 F,EG⊥EF 交 AB 于点 G.若 EF= EG,则 CD 的长为()

A.3.6
B.4
C.4.8
D.5

B

设$CD=x$，$EF=EG=a$。
∵$EF⊥AC$，$∠ACB=90°$，∴$EF// BC$，则$△AFE\backsim △ACD$（$AA$），$\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{CD}$，即$\frac{AF}{6}=\frac{a}{x}$，$AF=\frac{6a}{x}$，$FC=6-\frac{6a}{x}$。
∵$EG⊥EF$，$EF⊥AC$，∴$EG// AC$，$G$在$AB$上。设$C$为原点，$AC$为$x$轴，$BC$为$y$轴，$A(6,0)$，$B(0,12)$，$D(0,x)$，$E(f,a)$，$G(g,a)$。
$AD$方程：$y=-\frac{x}{6}(t-6)$，$E$在$AD$上，$a=-\frac{x}{6}(f-6)$，得$f=6-\frac{6a}{x}$。
$AB$方程：$y=-2t+12$，$G$在$AB$上，$a=-2g+12$，得$g=\frac{12-a}{2}$。
$EG=g-f=a$，即$\frac{12-a}{2}-(6-\frac{6a}{x})=a$，化简得$-\frac{a}{2}+\frac{6a}{x}=a$，解得$x=4$。

7. 如图,在△ABC 中,D,E 为边 AB 的三等分点,点 F,G 在边 BC 上,AC//DG//EF,H 为 AF 与 DG 的交点.若 AC= 12,则 DH 的长为()

A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.3

C

设AD=DE=EB=a，则AB=3a，AE=2a。
∵DG//AC，∴△BDG∽△BAC，相似比为BD/BA=2a/3a=2/3，∴DG=AC×(2/3)=12×(2/3)=8。
∵EF//AC，∴△BEF∽△BAC，相似比为BE/BA=a/3a=1/3，∴EF=AC×(1/3)=12×(1/3)=4。
∵DG//EF，∴△AHD∽△AFE，相似比为AD/AE=a/2a=1/2，∴DH=EF×(1/2)=4×(1/2)=2。

8. 如图,在△ABC 中,∠B= 80°,∠C= 40°,直线 l//BC.现将直线 l 绕点 A 逆时针旋转,所得直线分别交边 AB,AC 于点 M,N.若△AMN 与△ABC 相似,则旋转角至少是()

A.20°
B.40°
C.60°
D.80°

B

在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，则∠A=180°-80°-40°=60°。初始时直线l//BC，此时△AMN∽△ABC（平行于三角形一边的直线截其他两边所得三角形与原三角形相似），旋转角为0°。当直线l绕点A逆时针旋转后，要使△AMN与△ABC相似，需考虑另一种相似情况：△AMN∽△ACB（对应角不同），即∠AMN=∠C=40°，∠ANM=∠B=80°。初始时l//BC，∠AMN=∠B=80°（同位角），旋转后∠AMN=∠C=40°，旋转角为80°-40°=40°。

9. 如图,将△ABC 沿边 BC 上的中线 AD 平移到△A'B'C'的位置,△ABC 的面积为 9,阴影部分三角形的面积为 4.若 AA'= 1,则 A'D 的长为()

A.2
B.3
C.4
D.$\frac{3}{2}$

A

设$A'D = x$，因为$AA' = 1$，且$A'$在$AD$上，所以$AD = AA' + A'D = 1 + x$。
由于$\triangle ABC$沿中线$AD$平移得到$\triangle A'B'C'$，阴影三角形与$\triangle ABC$相似（平移后对应边平行，对应角相等）。
已知$\triangle ABC$面积为$9$，阴影三角形面积为$4$，则面积比为$4:9$，相似比为$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$。
相似三角形对应中线的比等于相似比，$AD$是$\triangle ABC$的中线，$A'D$是阴影三角形的对应中线，故$\frac{A'D}{AD}=\frac{2}{3}$。
即$\frac{x}{1 + x}=\frac{2}{3}$，解得$x = 2$。

10. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AD:AB= $\sqrt{2}$:1,点 E,F 分别在 AD,BC 上,把该纸片沿 EF 折叠,点 A,B 的对应点分别为 A',B',连接 AA'并延长交线段 CD 于点 G,则$\frac{EF}{AG}$的值为()

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{3}$

A

设AB=1，AD=√2，建立坐标系，A(0,0)，B(1,0)，C(1,√2)，D(0,√2)。设E(0,a)在AD上，F(1,b)在BC上，折叠后A对应A'(p,q)，EF为折痕。
由折叠性质，EF垂直平分AA'，则EF斜率为(b-a)，AA'斜率为q/p，故(b-a)·(q/p)=-1，即q=-p/(b-a)。
EF方程：y=(b-a)x+a，AA'中点(p/2,q/2)在EF上，得q=(b-a)p+2a。联立解得p=-2a(b-a)/[1+(b-a)²]，q=2a/(1+(b-a)²)。
AG所在直线方程：y=(q/p)x=-1/(b-a)x，交CD(y=√2)于G，得G点横坐标x=-(b-a)√2，故AG=√[( -(b-a)√2 )² + (√2)²]=√[2(b-a)²+2]=√2·√[(b-a)²+1]。
EF=√[(1-0)²+(b-a)²]=√[(b-a)²+1]。
则EF/AG=√[(b-a)²+1]/[√2·√[(b-a)²+1]]=1/√2=√2/2。