1. 如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦.若∠CDB= 32°,则∠CBA 的度数为()

A.68°
B.58°
C.64°
D.32°

B

AB 是⊙O 的直径，则$\angle ACB=90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
$\angle CDB$ 和 $\angle CAB$都对应着弧$CB$，根据同弧所对的圆周角相等，则$\angle CAB=\angle CDB = 32^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle CBA=90^{\circ}-\angle CAB = 90^{\circ}- 32^{\circ}=58^{\circ}$。

2. 如图,在⊙O 内有折线 OABC,其中 OA= 8,AB= 12,∠A= ∠B= 60°,则 BC 的长为()

A.19
B.16
C.18
D.20

D

延长AO交BC于点P，∵∠OAB=60°，∠ABC=60°，∴△ABP为等边三角形，∴AP=BP=AB=12，∠APB=60°。∵OA=8，∴OP=AP-OA=12-8=4。设BC=x，∵∠OPC=180°-∠APB=120°，PC=BC-BP=x-12。在△OPC中，由余弦定理得OC²=OP²+PC²-2·OP·PC·cos120°。∵OB=OC（均为半径），在△OAB中，OB²=OA²+AB²-2·OA·AB·cos60°=8²+12²-2×8×12×0.5=64+144-96=112。∴OC²=112，即4²+(x-12)²-2×4×(x-12)×(-0.5)=112，化简得x²-20x=0，解得x=20（x=0舍去）。

3. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,正方形 ABCO 的顶点 A,C 分别在 y 轴和 x 轴上,以 AB 为弦的⊙M 与 x 轴相切.若点 A 的坐标为(0,8),则圆心 M 的坐标为()

A.(-4,5)
B.(-5,4)
C.(5,-4)
D.(4,-5)

A

∵A(0,8)，O为原点(0,0)，四边形ABCO为正方形，∴OA=8，AB=OA=8，AB⊥OA。OA在y轴，故AB为水平线段，B(-8,8)。AB中点为(-4,8)，AB垂直平分线为x=-4，设圆心M(-4,k)。⊙M与x轴相切，半径r=|k|。MA=r，A(0,8)，则MA²=(-4-0)²+(k-8)²=16+(k-8)²=r²=k²。解得k=5，∴M(-4,5)。

4. 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,连接 OC 交⊙O 于点 D,连接 BD.若∠C= 40°,则∠ABD 的度数为()

A.30°
B.25°
C.20°
D.15°

B

∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠OAC=90°。
∵∠C=40°，∴∠AOC=90°-∠C=50°。
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB。
∵∠AOC=∠OBD+∠ODB=2∠ABD，∴∠ABD=∠AOC÷2=25°。

5. 如图,某桨轮船的轮子被水面截得的弦 AB 长 8 m,轮子的吃水深度 CD 为 2 m,则该桨轮船的轮子的半径为()

A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m

D

设轮子的圆心为$O$，$AB$是水面截得的弦，长度为$8m$，$CD$为吃水深度，长度为$2m$。
连接$OA$，$OA$为轮子的半径$R$，
由于$OD$垂直于$AB$，且$AB$被水面截得，所以$AD = \frac{1}{2}AB = 4m$。
设轮子的半径为$R$，则$OD = R - CD = R - 2$。
在直角三角形$OAD$中，根据勾股定理，有：
$OA^2 = AD^2 + OD^2$，
即$R^2 = 4^2 + (R - 2)^2$，
解这个方程，得到：
$R^2 = 16 + R^2 - 4R + 4$，
$4R = 20$，
$R = 5$。
所以，该桨轮船的轮子的半径为$5m$。