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4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 5 $,$ BC = 10 $,$ AC = 9 $,$ MN $ 为边 $ BC $ 的垂直平分线,点 $ D $ 为直线 $ MN $ 上一动点,则 $ \triangle ABD $ 的周长的最小值为(
A.10
B.12
C.14
D.15
C
)A.10
B.12
C.14
D.15
答案
C
解析
如图，因为$MN$为边$BC$的垂直平分线，
根据垂直平分线性质可知，点$B$与点$C$关于直线$MN$对称。
连接$AC$与$MN$的交点即为点$D$使$\triangle ABD$周长最小，
此时$\triangle ABD$周长$=AB + AD + BD = AB+AD + DC = AB + AC$，
已知$AB = 5$，$AC = 9$，所以$\triangle ABD$周长的最小值为$5 + 9=14$。
根据垂直平分线性质可知，点$B$与点$C$关于直线$MN$对称。
连接$AC$与$MN$的交点即为点$D$使$\triangle ABD$周长最小，
此时$\triangle ABD$周长$=AB + AD + BD = AB+AD + DC = AB + AC$，
已知$AB = 5$，$AC = 9$，所以$\triangle ABD$周长的最小值为$5 + 9=14$。
5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 为 $ BC $ 边的中点,过点 $ B $ 作 $ BE // AC $ 交 $ AD $ 的延长线于点 $ E $。
(1)求证 $ \triangle BDE \cong \triangle CDA $。
(2)若 $ AD \perp BC $,求证 $ BA = BE $。
(1)求证 $ \triangle BDE \cong \triangle CDA $。
(2)若 $ AD \perp BC $,求证 $ BA = BE $。
答案
(1) ∵D为BC中点，∴BD=CD。
∵BE//AC，∴∠E=∠CAD，∠EBD=∠C。
在△BDE和△CDA中，
∠E=∠CAD，
∠EBD=∠C，
BD=CD，
∴△BDE≌△CDA(AAS)。
(2) ∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。
∵D为BC中点，∴BD=CD。
在△ABD和△ACD中，
BD=CD，
∠ADB=∠ADC，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴AB=AC。
由(1)知△BDE≌△CDA，∴BE=AC，∴BA=BE。
∵BE//AC，∴∠E=∠CAD，∠EBD=∠C。
在△BDE和△CDA中，
∠E=∠CAD，
∠EBD=∠C，
BD=CD，
∴△BDE≌△CDA(AAS)。
(2) ∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。
∵D为BC中点，∴BD=CD。
在△ABD和△ACD中，
BD=CD，
∠ADB=∠ADC，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴AB=AC。
由(1)知△BDE≌△CDA，∴BE=AC，∴BA=BE。
6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,已知 $ AB $,$ AC $ 的垂直平分线分别为 $ EM $,$ FD $,连接 $ EA $,$ FA $,且 $ \angle BAC = 115° $,求 $ \angle EAF $ 的度数。
答案
∵EM是AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EAB=∠B。
∵FD是AC的垂直平分线，∴FA=FC，∴∠FAC=∠C。
设∠EAB=∠B=x，∠FAC=∠C=y。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∠BAC=115°，
∴115°+x+y=180°，∴x+y=65°。
∵∠BAC=∠EAB+∠EAF+∠FAC，
∴115°=x+∠EAF+y，
∴∠EAF=115°-(x+y)=115°-65°=50°。
答：∠EAF的度数为50°。
∵FD是AC的垂直平分线，∴FA=FC，∴∠FAC=∠C。
设∠EAB=∠B=x，∠FAC=∠C=y。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∠BAC=115°，
∴115°+x+y=180°，∴x+y=65°。
∵∠BAC=∠EAB+∠EAF+∠FAC，
∴115°=x+∠EAF+y，
∴∠EAF=115°-(x+y)=115°-65°=50°。
答：∠EAF的度数为50°。
