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【典型例题 1】下列变形：①$8xy^{3}= 4xy\cdot 2y^{2}$；②$x^{2}+1= x(x+\frac {1}{x})$；③$(x+1)(x - 1)= x^{2}-1$；④$x^{2}+2x - 1= x(x+2)-1$；⑤$x^{2}+xy^{2}= x(x+y^{2})$；⑥$x^{2}+4x + 4= (x + 2)^{2}$,属于因式分解的有(
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
C
)A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
答案
【解析】①等号左边不是多项式；②等号右边不是整式；③是整式乘法；④等号右边不是整式的积；⑤与⑥符合因式分解的概念,属于因式分解。
【答案】C
解析
1. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是(
A.$x^{2}-5x + 6= x(x - 5)+6$
B.$x^{2}-5x + 5= x^{2}-5(x - 1)$
C.$x(x - 1)= x^{2}-x$
D.$x^{2}-4= (x + 2)(x - 2)$
D
)A.$x^{2}-5x + 6= x(x - 5)+6$
B.$x^{2}-5x + 5= x^{2}-5(x - 1)$
C.$x(x - 1)= x^{2}-x$
D.$x^{2}-4= (x + 2)(x - 2)$
答案
D
解析
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
选项A：$x^{2}-5x + 6=x(x - 5)+6$，右边不是积的形式，不是因式分解。
选项B：$x^{2}-5x + 5=x^{2}-5(x - 1)$，右边不是积的形式，不是因式分解。
选项C：$x(x - 1)=x^{2}-x$，是从积的形式化为多项式，是整式乘法，不是因式分解。
选项D：$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$，把多项式化为两个整式的积的形式，是因式分解。
选项A：$x^{2}-5x + 6=x(x - 5)+6$，右边不是积的形式，不是因式分解。
选项B：$x^{2}-5x + 5=x^{2}-5(x - 1)$，右边不是积的形式，不是因式分解。
选项C：$x(x - 1)=x^{2}-x$，是从积的形式化为多项式，是整式乘法，不是因式分解。
选项D：$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$，把多项式化为两个整式的积的形式，是因式分解。
2. 若$x^{2}+x + m= (x - 3)(x + n)对x$恒成立,则$n= $
4
。答案
4
解析
将等式右边展开：$(x - 3)(x + n) = x^2 + nx - 3x - 3n = x^2 + (n - 3)x - 3n$。
因为$x^2 + x + m = x^2 + (n - 3)x - 3n$对$x$恒成立，所以对应项系数相等。
一次项系数：$1 = n - 3$，解得$n = 4$。
因为$x^2 + x + m = x^2 + (n - 3)x - 3n$对$x$恒成立，所以对应项系数相等。
一次项系数：$1 = n - 3$，解得$n = 4$。
【典型例题 2】分解因式：
(1)$am^{2}-an^{3}$；(2)$2x^{2}-3xy + 5x^{3}$。
(1)$am^{2}-an^{3}$；(2)$2x^{2}-3xy + 5x^{3}$。
答案
【解】(1)$am^{2}-an^{3}= a\cdot m^{2}-a\cdot n^{3}= a(m^{2}-n^{3})$。
(2)$2x^{2}-3xy + 5x^{3}= x\cdot 2x - x\cdot 3y + x\cdot 5x^{2}= x(2x - 3y + 5x^{2})$。
(2)$2x^{2}-3xy + 5x^{3}= x\cdot 2x - x\cdot 3y + x\cdot 5x^{2}= x(2x - 3y + 5x^{2})$。
3. 下列各式的公因式为$a$的是(
A.$2ax + 7ay + 5$
B.$-13m - 6ma^{2}$
C.$3b^{2}+10ab$
D.$a^{2}-2a + ma$
D
)A.$2ax + 7ay + 5$
B.$-13m - 6ma^{2}$
C.$3b^{2}+10ab$
D.$a^{2}-2a + ma$
答案
D
解析
A. 对于 $2ax + 7ay + 5$，观察各项发现，只有前两项含有$a$，第三项没有$a$，所以$a$不是公因式。
B. 对于 $-13m - 6ma^{2}$，观察各项发现，虽然两项都含有$m$，但公因式应为$m$而不是$a$的单独形式，所以$a$不是单独的公因式。
C. 对于 $3b^{2}+10ab$，观察各项发现，两项都含有$b$，但并不都含有$a$，所以$a$不是公因式。
D. 对于 $a^{2}-2a + ma$，观察各项发现，每一项都含有$a$，所以$a$是公因式。
B. 对于 $-13m - 6ma^{2}$，观察各项发现，虽然两项都含有$m$，但公因式应为$m$而不是$a$的单独形式，所以$a$不是单独的公因式。
C. 对于 $3b^{2}+10ab$，观察各项发现，两项都含有$b$，但并不都含有$a$，所以$a$不是公因式。
D. 对于 $a^{2}-2a + ma$，观察各项发现，每一项都含有$a$，所以$a$是公因式。
4. 分解因式：
(1)(2024·陕西中考)$a^{2}-ab= $______
(2)(2024·江苏南通中考)$ax - ay= $______
(1)(2024·陕西中考)$a^{2}-ab= $______
$a(a - b)$
；(2)(2024·江苏南通中考)$ax - ay= $______
$a(x - y)$
。答案
(1) $a(a - b)$
(2) $a(x - y)$
(2) $a(x - y)$
解析
(1) 对于 $a^{2} - ab$，观察两项发现都含有公因式 $a$，提取公因式得：
$a^{2} - ab = a × a - a × b = a(a - b)$
(2) 对于 $ax - ay$，观察两项发现都含有公因式 $a$，提取公因式得：
$ax - ay = a × x - a × y = a(x - y)$
$a^{2} - ab = a × a - a × b = a(a - b)$
(2) 对于 $ax - ay$，观察两项发现都含有公因式 $a$，提取公因式得：
$ax - ay = a × x - a × y = a(x - y)$
