2. 如图,在$Rt \triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC ＜ AC$。点$D$,$E分别在边AB$,$BC$上,连接$DE$,将$\triangle BDE沿DE$折叠,点$B的对应点为点B^{\prime}$,若点$B^{\prime}刚好落在边AC$上,$\angle CB^{\prime}E = 30^{\circ}$,$CE = 3$,则$BC$的长为。

9

在$Rt\triangle B'CE$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle CB'E=30^{\circ}$，$CE=3$。根据含$30^{\circ}$角的直角三角形性质，$30^{\circ}$角所对直角边等于斜边一半，故$CE=\frac{1}{2}B'E$，则$B'E=2CE=6$。由折叠性质知$BE=B'E=6$。因为点$E$在$BC$上，所以$BC=BE+CE=6+3=9$。

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,分别以$B$,$C$为圆心,大于$\dfrac{1}{2}BC$的长为半径画弧,两弧交于点$D$,连接$BD$,$CD$,$AD$,$AD与BC交于点E$。
(1) 求证：$\triangle ABD \cong \triangle ACD$；
(2) 若$BD = 2$,$\angle BDC = 120^{\circ}$,求$DE$的长。

(1)证明：
由题意得$BD = CD$，$AD$为$BD$，$CD$的垂直平分线（两弧半径相等），
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中
$\begin{cases}BD = CD,\\AD = AD,\\AB = AC.\end{cases}$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle ACD(SSS)$。
(2)由(1)得$\triangle ABD \cong \triangle ACD$，$AD$为$BC$的垂直平分线，
$\therefore \angle BED = 90^{\circ}$，
$\because \angle BDC = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle DBE = 30^{\circ}$，
$\therefore DE = \frac{1}{2}BD = 1$。

4. 在$Rt \triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 3$,$AB = 6$,则$\angle B$为。

$60^{\circ}$

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$BC=3$，$AB=6$。因为$BC=\frac{1}{2}AB$，根据含$30^{\circ}$角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30^{\circ}$，所以$BC$所对的$\angle A=30^{\circ}$。又因为直角三角形两锐角互余，所以$\angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。

5. 如图,已知$\angle AOB = 60^{\circ}$,点$P在边OA$上,$OP = 12$,点$M$,$N在边OB$上,且$PM = PN$,若$MN = 4$,则$OM$的长为。

4

过点P作PD⊥OB于点D，∵PM=PN，∴D为MN中点，∵MN=4，∴MD=DN=2。在Rt△OPD中，∠AOB=60°，∠PDO=90°，∴∠OPD=30°，∴OD=1/2OP=1/2×12=6。∵OD=OM+MD，∴OM=OD-MD=6-2=4。

6. 如图,$\triangle ABC是边长为6\ cm$的等边三角形,动点$P$,$Q同时从A$,$B$两点出发,分别沿$AB$,$BC$方向匀速移动。
(1) 若点$P的运动速度是1\ cm/s$,点$Q的运动速度是2\ cm/s$,当$Q到达点C$时,$P$,$Q$两点都停止运动。设运动时间为$t\ s$,当$t = 2$时,判断$\triangle BPQ$的形状,并说明理由。
(2) 若它们的速度都是$1\ cm/s$,当点$P到达点B$时,$P$,$Q$两点停止运动。设点$P的运动时间为t\ s$,则当$t$为何值时,$\triangle PBQ$是直角三角形？

(1) 当$t=2$时，$AP=1×2=2\,cm$，则$BP=AB-AP=6-2=4\,cm$；$BQ=2×2=4\,cm$。
∵$\triangle ABC$是等边三角形，∴$\angle B=60°$。
在$\triangle BPQ$中，$BP=BQ=4\,cm$，$\angle B=60°$，∴$\triangle BPQ$是等边三角形。
(2) 由题意，$AP=t\,cm$，$BP=6-t\,cm$，$BQ=t\,cm$，$\angle B=60°$。
若$\triangle PBQ$是直角三角形，分两种情况：
①当$\angle BPQ=90°$时，$\angle BQP=30°$，则$BQ=2BP$，即$t=2(6-t)$，解得$t=4$；
②当$\angle BQP=90°$时，$\angle BPQ=30°$，则$BP=2BQ$，即$6-t=2t$，解得$t=2$。
综上，$t=2$或$t=4$。