【典型例题 1】下列关于 $x$ 的式子：
① $\frac{x - 1}{5} = 5$；② $\frac{1}{x} = \frac{3}{x - 1}$；③ $x^2 + \frac{1}{x}$；
④ $\frac{x}{\pi} - 2x = -1$；⑤ $\frac{2}{x - 3} = 2$,其中是分式方程的有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

1. 下列关于 $x$ 的方程：
① $\frac{x - 1}{2} + 3 = x$；② $4x + \frac{2}{x} + 8 = 0$；
③ $-\frac{6}{x + 3} = 5$；④ $x^2 - 9x = 2$；⑤ $\frac{1}{x} = 2$,其中是分式方程的有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

C

分式方程是分母中含有未知数的方程。①分母为2，不含未知数，不是分式方程；②分母含未知数x，是分式方程；③分母含未知数x，是分式方程；④是整式方程中的一元二次方程，不是分式方程；⑤分母含未知数x，是分式方程。故②③⑤是分式方程，共3个。

【典型例题 2】解分式方程：
(1)$\frac{x}{x + 2} = \frac{2}{x - 1} + 1$；
(2)$\frac{3 - x}{x - 4} = \frac{1}{4 - x} - 2$。

思路导引 将分式方程转化为整式方程,通过求整式方程的解并检验,从而得到分式方程的解。
【解】
(1)方程两边乘 $(x + 2)(x - 1)$,得 $x(x - 1) = 2(x + 2) + (x + 2)(x - 1)$,
解得 $x = -\frac{1}{2}$。
检验：当 $x = -\frac{1}{2}$ 时,$(x + 2)(x - 1) \neq 0$,所以,原分式方程的解为 $x = -\frac{1}{2}$。
(2)方程两边乘 $(x - 4)$,得 $3 - x = -1 - 2(x - 4)$,解得 $x = 4$。
检验：当 $x = 4$ 时,$x - 4 = 0$,
因此 $x = 4$ 不是原分式方程的解。
所以,原分式方程无解。