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【典型例题 2】若 $2^{x} = 16$,$2^{y} = 8$,求 $2^{x + y + 2}$ 的值。
答案
思路导引 逆用同底数幂的乘法的性质,将 $2^{x + y + 2}$ 转化为同底数幂相乘的形式,再将数值代入计算出结果。
【解】$2^{x + y + 2} = 2^{x} \cdot 2^{y} \cdot 2^{2} = 16 × 8 × 4 = 512$。
规律方法 当要求值的幂的指数是“和”的形式时,可以考虑逆用同底数幂的乘法法则进行求值运算。
【解】$2^{x + y + 2} = 2^{x} \cdot 2^{y} \cdot 2^{2} = 16 × 8 × 4 = 512$。
规律方法 当要求值的幂的指数是“和”的形式时,可以考虑逆用同底数幂的乘法法则进行求值运算。
2. $x^{2m + 2}$ 可以写成(
A.$2x^{m + 2}$
B.$x^{2m} + x^{2}$
C.$x^{2} \cdot x^{m + 1}$
D.$x^{2m} \cdot x^{2}$
D
)A.$2x^{m + 2}$
B.$x^{2m} + x^{2}$
C.$x^{2} \cdot x^{m + 1}$
D.$x^{2m} \cdot x^{2}$
答案
D
解析
利用同底数幂的乘法法则，即 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$，对选项逐一分析：
A. $2x^{m + 2}$ 不符合 $x^{2m + 2}$ 的形式；
B. $x^{2m} + x^{2}$ 是加法，无法合并为单一幂项；
C. $x^{2} \cdot x^{m + 1} = x^{m + 3} \neq x^{2m + 2}$；
D. $x^{2m} \cdot x^{2} = x^{2m + 2}$，符合题意。
A. $2x^{m + 2}$ 不符合 $x^{2m + 2}$ 的形式；
B. $x^{2m} + x^{2}$ 是加法，无法合并为单一幂项；
C. $x^{2} \cdot x^{m + 1} = x^{m + 3} \neq x^{2m + 2}$；
D. $x^{2m} \cdot x^{2} = x^{2m + 2}$，符合题意。
3. 已知 $3^{x} = y$,则 $3^{x + 1} = ($
A.$y$
B.$1 + y$
C.$3 + y$
D.$3y$
D
)A.$y$
B.$1 + y$
C.$3 + y$
D.$3y$
答案
D
解析
根据同底数幂的乘法法则，有 $3^{x + 1} = 3^x × 3$。已知 $3^x = y$，代入得 $3^{x + 1} = y × 3 = 3y$。
1. 计算 $a^{2} \cdot a^{3}$,结果正确的是(
A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{8}$
D.$a^{9}$
A
)A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{8}$
D.$a^{9}$
答案
A
解析
根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$。
对于 $a^2 \cdot a^3$，底数 $a$ 不变，指数 $2$ 和 $3$ 相加，结果为 $a^{2+3} = a^5$。
对于 $a^2 \cdot a^3$，底数 $a$ 不变，指数 $2$ 和 $3$ 相加，结果为 $a^{2+3} = a^5$。
2. 下列算式中结果等于 $m^{7}$ 的是(
A.$(-m)^{2} \cdot (-m)^{5}$
B.$(-m^{2}) \cdot m^{5}$
C.$(-m)^{3} \cdot (-m^{4})$
D.$(-m) \cdot (-m)^{6}$
C
)A.$(-m)^{2} \cdot (-m)^{5}$
B.$(-m^{2}) \cdot m^{5}$
C.$(-m)^{3} \cdot (-m^{4})$
D.$(-m) \cdot (-m)^{6}$
答案
C
解析
A.$(-m)^{2} \cdot (-m)^{5}=(-m)^{7}=-m^{7}$；B.$(-m^{2}) \cdot m^{5}=-m^{2+5}=-m^{7}$；C.$(-m)^{3} \cdot (-m^{4})=(-1)^3m^3 \cdot (-1)m^4=(-1)×(-1)m^{3+4}=m^7$；D.$(-m) \cdot (-m)^{6}=(-m)^{7}=-m^{7}$。
3. 在等式 $a^{5} \cdot (-a) \cdot ($ ) $= a^{12}$ 中,括号内的代数式应是(
A.$a^{6}$
B.$(-a)^{6}$
C.$-a^{6}$
D.$(-a)^{7}$
C
)A.$a^{6}$
B.$(-a)^{6}$
C.$-a^{6}$
D.$(-a)^{7}$
答案
C
解析
设括号内的代数式为$x$，则等式为$a^{5} \cdot (-a) \cdot x = a^{12}$。先计算$a^{5} \cdot (-a)= -a^{5+1}=-a^{6}$，所以$-a^{6} \cdot x = a^{12}$，则$x = a^{12} ÷ (-a^{6})=-a^{12-6}=-a^{6}$
4. 如果 $x^{2 + m} \cdot x^{3} = x^{5}$,那么 $m$ 等于(
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
A
)A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
A
解析
根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。所以$x^{2 + m} \cdot x^{3} = x^{(2 + m) + 3} = x^{m + 5}$。已知等式右边为$x^{5}$，则$m + 5 = 5$，解得$m = 0$。
5. 若规定 $a \otimes b = 10^{a} × 10^{b}$,如 $2 \otimes 3 = 10^{2} × 10^{3} = 10^{5}$,则 $3 \otimes 4$ 等于(
A.$12$
B.$10^{12}$
C.$7^{10}$
D.$10^{7}$
D
)A.$12$
B.$10^{12}$
C.$7^{10}$
D.$10^{7}$
答案
D
解析
根据题目中的定义，$a \otimes b = 10^{a} × 10^{b}$。
利用同底数幂的乘法法则，$10^{a} × 10^{b} = 10^{a+b}$。
因此，$3 \otimes 4 = 10^{3} × 10^{4} = 10^{3+4} = 10^{7}$。
利用同底数幂的乘法法则，$10^{a} × 10^{b} = 10^{a+b}$。
因此，$3 \otimes 4 = 10^{3} × 10^{4} = 10^{3+4} = 10^{7}$。
6. 已知 $x + y - 3 = 0$,则 $2^{y} \cdot 2^{x}$ 的值是(
A.$6$
B.$-6$
C.$\frac{1}{8}$
D.$8$
D
)A.$6$
B.$-6$
C.$\frac{1}{8}$
D.$8$
答案
D
解析
由方程 $x + y - 3 = 0$ 可得 $x + y = 3$。
根据同底数幂的乘法法则，$2^{y} \cdot 2^{x} = 2^{x + y}$。
将 $x + y = 3$ 代入，得 $2^{x + y} = 2^{3} = 8$。
根据同底数幂的乘法法则，$2^{y} \cdot 2^{x} = 2^{x + y}$。
将 $x + y = 3$ 代入，得 $2^{x + y} = 2^{3} = 8$。
7. 如果 $a^{x} = 4$,$a^{y} = 9$,那么 $a^{x + y}$ 的值为(
A.$13$
B.$5$
C.$-36$
D.$36$
D
)A.$13$
B.$5$
C.$-36$
D.$36$
答案
D
解析
因为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$a^{x + y}=a^x \cdot a^y$。已知$a^{x} = 4$，$a^{y} = 9$，则$a^{x + y}=4×9=36$。
8. 已知 $2^{x + 2} = 20$,则 $2^{x}$ 的值为
5
。答案
5
解析
因为$2^{x + 2} = 2^x × 2^2 = 4 × 2^x$，已知$2^{x + 2} = 20$，所以$4 × 2^x = 20$，则$2^x = 20 ÷ 4 = 5$。
9. 计算：
(1) $7 × 7^{2} × 7^{5}$；
(2) $-x^{3} \cdot (-x)^{3} \cdot (-x)^{4}$；
(3) $a^{n + 2} \cdot a^{n + 1} \cdot a^{n} \cdot a$；
(4) $(x - y)^{5} \cdot (y - x)^{6}$。
(1) $7 × 7^{2} × 7^{5}$；
(2) $-x^{3} \cdot (-x)^{3} \cdot (-x)^{4}$；
(3) $a^{n + 2} \cdot a^{n + 1} \cdot a^{n} \cdot a$；
(4) $(x - y)^{5} \cdot (y - x)^{6}$。
答案
(1)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$7×7^{2}×7^{5}=7^{1 + 2+5}=7^{8}$
(2)
先根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数化简$(-x)^{3}=-x^{3}$，$(-x)^{4}=x^{4}$，则：
$-x^{3}\cdot(-x)^{3}\cdot(-x)^{4}=-x^{3}\cdot(-x^{3})\cdot x^{4}=x^{3 + 3+4}=x^{10}$
(3)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$a^{n + 2}\cdot a^{n + 1}\cdot a^{n}\cdot a=a^{(n + 2)+(n + 1)+n + 1}=a^{3n+4}$
(4)
因为$(y - x)^{6}=[(x - y)]^{6}=(x - y)^{6}$，所以：
$(x - y)^{5}\cdot(y - x)^{6}=(x - y)^{5}\cdot(x - y)^{6}=(x - y)^{5 + 6}=(x - y)^{11}$
综上，答案依次为：(1)$7^{8}$；(2)$x^{10}$；(3)$a^{3n + 4}$；(4)$(x - y)^{11}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$7×7^{2}×7^{5}=7^{1 + 2+5}=7^{8}$
(2)
先根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数化简$(-x)^{3}=-x^{3}$，$(-x)^{4}=x^{4}$，则：
$-x^{3}\cdot(-x)^{3}\cdot(-x)^{4}=-x^{3}\cdot(-x^{3})\cdot x^{4}=x^{3 + 3+4}=x^{10}$
(3)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$a^{n + 2}\cdot a^{n + 1}\cdot a^{n}\cdot a=a^{(n + 2)+(n + 1)+n + 1}=a^{3n+4}$
(4)
因为$(y - x)^{6}=[(x - y)]^{6}=(x - y)^{6}$，所以：
$(x - y)^{5}\cdot(y - x)^{6}=(x - y)^{5}\cdot(x - y)^{6}=(x - y)^{5 + 6}=(x - y)^{11}$
综上，答案依次为：(1)$7^{8}$；(2)$x^{10}$；(3)$a^{3n + 4}$；(4)$(x - y)^{11}$。
10. 若 $x$,$y$ 都是正整数,且 $2^{x} × 2^{y} = 2^{5}$,则 $x$,$y$ 的值有
4
对。答案
4（填写数字4即可，题目未给出选项形式，按要求填写数字）
解析
根据同底数幂的乘法法则，有 $2^{x} × 2^{y} = 2^{x+y}$。
由题目条件 $2^{x} × 2^{y} = 2^{5}$，可得 $2^{x+y} = 2^{5}$。
根据同底数幂相等的性质，得出 $x + y = 5$。
由于 $x$ 和 $y$ 都是正整数，列举出所有满足 $x + y = 5$ 的正整数对：
当 $x = 1$ 时，$y = 4$；
当 $x = 2$ 时，$y = 3$；
当 $x = 3$ 时，$y = 2$；
当 $x = 4$ 时，$y = 1$。
因此，共有 4 对满足条件的正整数 $(x, y)$，但由于$x$,$y$没有顺序的分别要求（即$x=1$,$y=4$与$x=4$,$y=1$算作两对），所以直接得出有 4 对解。
由题目条件 $2^{x} × 2^{y} = 2^{5}$，可得 $2^{x+y} = 2^{5}$。
根据同底数幂相等的性质，得出 $x + y = 5$。
由于 $x$ 和 $y$ 都是正整数，列举出所有满足 $x + y = 5$ 的正整数对：
当 $x = 1$ 时，$y = 4$；
当 $x = 2$ 时，$y = 3$；
当 $x = 3$ 时，$y = 2$；
当 $x = 4$ 时，$y = 1$。
因此，共有 4 对满足条件的正整数 $(x, y)$，但由于$x$,$y$没有顺序的分别要求（即$x=1$,$y=4$与$x=4$,$y=1$算作两对），所以直接得出有 4 对解。
11. 若 $2^{10} × 8 × 16 = 2^{n}$,则 $n = $
17
。答案
$17$
解析
将$8$和$16$转化为以$2$为底的幂形式，
即$8 = 2^{3}$，$16 = 2^{4}$。
将原式$2^{10} × 8 × 16$替换为以$2$为底的幂形式，
得到$2^{10} × 2^{3} × 2^{4}$。
根据同底数幂的乘法法则，即$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$，
将上一步的式子化简为$2^{10+3+4}$。
计算指数部分，得到$2^{17}$。
由于题目给出$2^{10} × 8 × 16 = 2^{n}$，
所以$n = 17$。
即$8 = 2^{3}$，$16 = 2^{4}$。
将原式$2^{10} × 8 × 16$替换为以$2$为底的幂形式，
得到$2^{10} × 2^{3} × 2^{4}$。
根据同底数幂的乘法法则，即$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$，
将上一步的式子化简为$2^{10+3+4}$。
计算指数部分，得到$2^{17}$。
由于题目给出$2^{10} × 8 × 16 = 2^{n}$，
所以$n = 17$。
12. 若 $4^{m} = 8$,$4^{n} = 2$,则 $m + n = $
2
。答案
2
解析
因为 $4^m = 8$，$4^n = 2$，根据同底数幂的乘法法则，$4^m × 4^n = 4^{m+n}$。所以 $4^{m+n} = 8 × 2 = 16$。又因为 $16 = 4^2$，所以 $m + n = 2$。
