4. 解下列分式方程:
(1)$\frac{3}{x - 5} = \frac{5}{x - 7}$;
(2)$\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{2x}{3x - 3}$;
(3)$\frac{2 + x}{2 - x} + \frac{16}{x^2 - 4} = - 1$.

(1)$x=2$；(2)$x=\frac{3}{2}$；(3)无解

(1)方程两边乘最简公分母$(x - 5)(x - 7)$，得$3(x - 7)=5(x - 5)$，展开得$3x - 21=5x - 25$，移项合并得$-2x=-4$，解得$x=2$。检验：当$x=2$时，$(x - 5)(x - 7)=(-3)(-5)=15≠0$，故$x=2$是原方程的解。
(2)原方程可化为$\frac{x}{x - 1}-1=\frac{2x}{3(x - 1)}$，两边乘最简公分母$3(x - 1)$，得$3x - 3(x - 1)=2x$，展开得$3x - 3x + 3=2x$，化简得$3=2x$，解得$x=\frac{3}{2}$。检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$3(x - 1)=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}≠0$，故$x=\frac{3}{2}$是原方程的解。
(3)原方程可化为$\frac{2 + x}{2 - x}+\frac{16}{(x - 2)(x + 2)}=-1$，即$-\frac{x + 2}{x - 2}+\frac{16}{(x - 2)(x + 2)}=-1$，两边乘最简公分母$(x - 2)(x + 2)$，得$-(x + 2)^2 + 16=-(x^2 - 4)$，展开得$-x^2 - 4x - 4 + 16=-x^2 + 4$，化简得$-4x + 12=4$，解得$x=2$。检验：当$x=2$时，$(x - 2)(x + 2)=0$，故$x=2$是增根，原方程无解。

探究点3 分式方程中的参数问题
【例3】 已知关于$x的分式方程\frac{2x - m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$的解是正数,求$m$的取值范围.

$m ＞ 4$ 且 $m \neq 5$（写这个范围的相应形式，根据选择题选项填写，此处假设选项为包含该范围的选项）。

首先将分式方程 $\frac{2x - m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$ 去分母，两边同乘以 $x - 1$，得到：
$2x - m + 3 = x - 1$，
整理得：
$2x - x = m - 4$，
$x = m - 4$，
由于分式方程的分母不能为0，所以 $x - 1 \neq 0$，即 $x \neq 1$，所以 $m - 4 \neq 1$，即 $m \neq 5$。
又因为题目要求分式方程的解是正数，所以 $m - 4 ＞ 0$，即 $m ＞ 4$。
综上，$m$ 的取值范围是 $m ＞ 4$ 且 $m \neq 5$。

5. 如果关于$x的分式方程\frac{2x - m}{x + 1} = 1$的解是负数,那么$m$的取值范围是()
A. $m ＜ - 1$
B. $m ＞ - 1且m \neq 0$
C. $m ＞ - 1$
D. $m ＜ - 1且m \neq - 2$

D

首先解方程 $\frac{2x - m}{x + 1} = 1$。
去分母，得$2x - m = x + 1$，
移项得：$2x - x = m + 1$，
解得$x = m + 1$。
由于方程的解是负数，所以有$m + 1 \lt 0$，
即$m \lt -1$。
又因为分母$x + 1 \neq 0$，
所以$m + 1 \neq -1$，
即$m \neq -2$。
综上，$m \lt -1$ 且 $m \neq -2$。

6. 若关于$x的分式方程\frac{3x}{x - 2} - 1 = \frac{m + 3}{x - 2}$无解,求$m$的值.

3

方程两边同乘$x - 2$得：$3x - (x - 2) = m + 3$，化简得$2x + 2 = m + 3$，解得$x = \frac{m + 1}{2}$。
∵原分式方程无解，∴$x = 2$是增根。
令$\frac{m + 1}{2} = 2$，解得$m = 3$。

1. 下列方程中,不是分式方程的是()
A. $\frac{3x + 1}{3} = \frac{5x + 3}{6}$
B. $x + \frac{1}{x} = 2$
C. $- 5x = \frac{1}{7x}$
D. $\frac{5x + 3}{x} = 7$

A

分式方程是指分母里含有未知数或未知数整式为分母的等式。
A选项$\frac{3x + 1}{3} = \frac{5x + 3}{6}$，分母为3和6，均不含有未知数，所以不是分式方程，而是一元一次方程；
B选项$x + \frac{1}{x} = 2$，分母含有未知数$x$，是分式方程；
C选项$-5x = \frac{1}{7x}$，分母含有未知数$x$，是分式方程；
D选项$\frac{5x + 3}{x} = 7$，分母含有未知数$x$，是分式方程。

2. 解分式方程$\frac{x}{2x - 1} + \frac{2}{1 - 2x} = 3$时,去分母化为一元一次方程,正确的是()
A. $x + 2 = 3$
B. $x - 2 = 3$
C. $x - 2 = 3(2x - 1)$
D. $x + 2 = 3(2x - 1)$

C

将分式方程$\frac{x}{2x - 1} + \frac{2}{1 - 2x} = 3$去分母，首先注意到$1 - 2x = -(2x - 1)$，因此方程可变形为$\frac{x}{2x - 1} - \frac{2}{2x - 1} = 3$。
两边同乘以$2x - 1$，得到$x - 2 = 3(2x - 1)$。

3. 方程$\frac{3}{1 - 2x} = 1$的解为()
A. $\frac{1}{2}$
B. $- \frac{1}{2}$
C. $1$
D. $- 1$

D

方程两边同乘$1 - 2x$，得$3 = 1 - 2x$，移项得$2x = 1 - 3$，$2x = -2$，解得$x = -1$。检验：当$x = -1$时，$1 - 2x = 1 - 2×(-1) = 3 ≠ 0$，所以$x = -1$是原方程的解。

4. 关于$x的方程\frac{x - 1}{x - 3} = 2 + \frac{k}{x - 3}$有增根,则$k$的值为()
A. $\pm 3$
B. $3$
C. $- 3$
D. $2$

D

方程两边同乘$(x-3)$得：$x-1=2(x-3)+k$，
若方程有增根，则增根为$x=3$，
将$x=3$代入$x-1=2(x-3)+k$，
得$3-1=2(3-3)+k$，
即$k=2$。
（根据增根定义，增根使分母为0，将$x=3$代入去分母后整式方程求解$k$）

5. 若关于$x的方程\frac{m}{x + 1} - \frac{2}{x} = 0$的解为正数,则$m$的取值范围是()
A. $m ＜ 2$
B. $m ＜ 2且m \neq 0$
C. $m ＞ 2$
D. $m ＞ 2且m \neq 4$

C

方程两边同乘$x(x+1)$去分母得：$mx - 2(x + 1) = 0$，整理得$x(m - 2) = 2$，解得$x = \frac{2}{m - 2}$。
因为方程的解为正数，所以$\frac{2}{m - 2} ＞ 0$，即$m - 2 ＞ 0$，得$m ＞ 2$。
又分母$x \neq 0$且$x + 1 \neq 0$，$x = \frac{2}{m - 2}$不可能为$0$或$-1$（此时$m$无解），故$m$的取值范围是$m ＞ 2$。

6. 关于$x$的方程:①$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} = 6$;②$\frac{x}{900} = \frac{500}{x - 30}$;③$\frac{x}{3} + 1 = \frac{3}{2}x$;④$\frac{a}{2x} = \frac{1}{x}$;⑤$\frac{320}{x} - \frac{400}{x} = 4$;⑥$\frac{x}{a} = \frac{3}{5} - x$.分式方程有(填序号).

②④⑤

分式方程的定义是分母里含有未知数或表示未知数的整式的方程。
①方程分母不含未知数，是整式方程。
②方程分母含有未知数$x$，是分式方程。
③方程分母不含未知数，是整式方程。
④方程分母含有未知数$x$，是分式方程。
⑤方程分母含有未知数$x$，是分式方程。
⑥方程分母含有未知数但以参数形式出现，按照本题要求，不算分式方程（分母未明确含本题求解的未知数$x$）。
所以分式方程有②④⑤。