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1. 一般地,如果一个
2. 算术平方根具有双重非负性：(1)被开方数必须是非负数,即$a\geqslant 0$；(2)算术平方根的值是非负数,即$\sqrt{a}\geqslant 0$。
3. 当$a\geqslant 0$时,$\sqrt{a^{2}}= $
正
数$x的平方等于a$,即$x^{2}= a$,那么这个正
数$x就叫作a$的算术平方根,记作$\sqrt{a}$
,读作“根号a
”。特别地,我们规定：$0$的算术平方根是0
,即$\sqrt{0}=0$
。2. 算术平方根具有双重非负性：(1)被开方数必须是非负数,即$a\geqslant 0$；(2)算术平方根的值是非负数,即$\sqrt{a}\geqslant 0$。
3. 当$a\geqslant 0$时,$\sqrt{a^{2}}= $
a
,$(\sqrt{a})^{2}= $a
；当$a＜0$时,$\sqrt{a^{2}}= $$-a$
。答案
1.正 正 $\sqrt{a}$ 根号 a 0 $\sqrt{0}=0$ 3.a a $-a$
1. $4$的算术平方根是(
A.$4$
B.$2$
C.$\pm 2$
D.$-2$
B
)。A.$4$
B.$2$
C.$\pm 2$
D.$-2$
答案
B
2. 在$0.32$,$-5^{2}$,$(-4)^{2}$,$\frac{1}{2}$,$\pi$,$-|-4|$这几个数中,有算术平方根的有(
A.$3$个
B.$4$个
C.$5$个
D.$6$个
B
)。A.$3$个
B.$4$个
C.$5$个
D.$6$个
答案
B
解析
$0.32＞0$，有算术平方根；
$-5^{2}=-25＜0$，没有算术平方根；
$(-4)^{2}=16＞0$，有算术平方根；
$\frac{1}{2}＞0$，有算术平方根；
$\pi＞0$，有算术平方根；
$-|-4|=-4＜0$，没有算术平方根；
综上，有算术平方根的数是$0.32$，$(-4)^{2}$，$\frac{1}{2}$，$\pi$，共4个。
B
$-5^{2}=-25＜0$，没有算术平方根；
$(-4)^{2}=16＞0$，有算术平方根；
$\frac{1}{2}＞0$，有算术平方根；
$\pi＞0$，有算术平方根；
$-|-4|=-4＜0$，没有算术平方根；
综上，有算术平方根的数是$0.32$，$(-4)^{2}$，$\frac{1}{2}$，$\pi$，共4个。
B
3. 算术平方根等于它本身的数是
0,1
。答案
0,1
4. $\sqrt{25}=$
5
,$\sqrt{0.01}=$0.1
,$\sqrt{\frac{9}{64}}=$$\frac{3}{8}$
,$\sqrt{(-7)^{2}}=$7
。答案
5 0.1 $\frac{3}{8}$ 7
解析
5, $0.1$, $\frac{3}{8}$, 7
5. 已知$a$为正整数,且$\sqrt{8a}$为正整数,则$a$的最小值为
2
。答案
2
解析
要使$\sqrt{8a}$为正整数，设$\sqrt{8a}=k$（$k$为正整数），则$8a = k^2$，即$a=\frac{k^2}{8}$。
因为$a$为正整数，所以$k^2$必须能被$8$整除。$8=2^3$，$k^2$为完全平方数，其质因数的指数为偶数。要使$k^2$含$2^3$，则最小的$k^2$应含$2^4$（$4$为大于$3$的最小偶数），即$k^2=16$，此时$k=4$。
则$a=\frac{16}{8}=2$，故$a$的最小值为$2$。
2
因为$a$为正整数，所以$k^2$必须能被$8$整除。$8=2^3$，$k^2$为完全平方数，其质因数的指数为偶数。要使$k^2$含$2^3$，则最小的$k^2$应含$2^4$（$4$为大于$3$的最小偶数），即$k^2=16$，此时$k=4$。
则$a=\frac{16}{8}=2$，故$a$的最小值为$2$。
2
6. 求下列各数的算术平方根：
(1)$0.16$；
(2)$1\frac{15}{49}$；
(3)$\sqrt{81}$。
(1)$0.16$；
(2)$1\frac{15}{49}$；
(3)$\sqrt{81}$。
答案
解:
(1)因为$(0.4)^{2}=0.16$,所以0.16的算术平方根是0.4,即$\sqrt{0.16}=0.4$。
(2)$1\frac{15}{49}=\frac{64}{49}$,因为$(\frac{8}{7})^{2}=\frac{64}{49}$,所以$\frac{64}{49}$的算术平方根是$\frac{8}{7}$,即$\sqrt{1\frac{15}{49}}=\frac{8}{7}$。
(3)因为$9^{2}=81$,所以$\sqrt{81}=9$,所以$\sqrt{81}$的算术平方根就是9的算术平方根。又因为$3^{2}=9$,所以$\sqrt{81}$的算术平方根是3。
(1)因为$(0.4)^{2}=0.16$,所以0.16的算术平方根是0.4,即$\sqrt{0.16}=0.4$。
(2)$1\frac{15}{49}=\frac{64}{49}$,因为$(\frac{8}{7})^{2}=\frac{64}{49}$,所以$\frac{64}{49}$的算术平方根是$\frac{8}{7}$,即$\sqrt{1\frac{15}{49}}=\frac{8}{7}$。
(3)因为$9^{2}=81$,所以$\sqrt{81}=9$,所以$\sqrt{81}$的算术平方根就是9的算术平方根。又因为$3^{2}=9$,所以$\sqrt{81}$的算术平方根是3。
7. $x$取什么值时,下列各式在实数范围内有意义？
(1)$\sqrt{x - 4}$；
(2)$\sqrt{1 + x^{2}}$；
(3)$\sqrt{4 - 6x}$；
(4)$\frac{1}{\sqrt{2 - 3x}}$。
(1)$\sqrt{x - 4}$；
(2)$\sqrt{1 + x^{2}}$；
(3)$\sqrt{4 - 6x}$；
(4)$\frac{1}{\sqrt{2 - 3x}}$。
答案
解:
(1)若$\sqrt{x-4}$有意义,则$x-4\geq0$,解得$x\geq4$。
(2)因为对于任意实数x,都有$x^{2}\geq0$,所以$1+x^{2}\geq1$,即x为任意实数,$\sqrt{1+x^{2}}$都有意义,所以x为全体实数。
(3)若$\sqrt{4-6x}$有意义,则$4-6x\geq0$,解得$x\leq\frac{2}{3}$。
(4)若$\frac{1}{\sqrt{2-3x}}$有意义,则$2-3x\geq0$,且$2-3x\neq0$,解得$x＜\frac{2}{3}$。
(1)若$\sqrt{x-4}$有意义,则$x-4\geq0$,解得$x\geq4$。
(2)因为对于任意实数x,都有$x^{2}\geq0$,所以$1+x^{2}\geq1$,即x为任意实数,$\sqrt{1+x^{2}}$都有意义,所以x为全体实数。
(3)若$\sqrt{4-6x}$有意义,则$4-6x\geq0$,解得$x\leq\frac{2}{3}$。
(4)若$\frac{1}{\sqrt{2-3x}}$有意义,则$2-3x\geq0$,且$2-3x\neq0$,解得$x＜\frac{2}{3}$。
8. 已知$\sqrt{25}= x$,$\sqrt{y}= 2$,$z是9$的算术平方根,求$2x + y - z$的算术平方根。
答案
解:因为$\sqrt{25}=x$,所以$x=5$。因为$\sqrt{y}=2$,所以$y=4$。因为z是9的算术平方根,所以$z=3$,所以$2x+y-z=2×5+4-3=11$,所以$2x+y-z$的算术平方根是$\sqrt{11}$。
