7. 如图所示,在△ABC 中,AD 是高,AE 是角平分线,∠BAC= 60°,∠C= 70°,求∠CAD,∠DAE 的度数.

因为AD是高，
所以$\angle ADC = 90°$。
在$\triangle ACD$中，$\angle C = 70°$，
所以$\angle CAD = 180° - 90° - 70° = 20°$。
因为$\angle BAC = 60°$，
AE是角平分线，
所以$\angle BAE = \angle CAE = \frac{60°}{2} = 30°$。
$\angle DAE = \angle CAE - \angle CAD = 30° - 20° = 10°$。
综上，$\angle CAD = 20°$，$\angle DAE = 10°$。

8. 如图所示,BE,CF 是△ABC 的角平分线,BE,CF 相交于点 D,∠ABC= 50°,∠ACB= 70°,则∠ADE 的度数是.

【解析】：在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，由三角形内角和定理得∠BAC=180°-50°-70°=60°。
BE是∠ABC的角平分线，故∠ABE=∠ABC/2=50°/2=25°。
在△ABE中，∠BAE=60°，∠ABE=25°，则∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-60°-25°=95°。
点D在BE上，故∠AED=∠AEB=95°（E、D、B共线）。
在△ADE中，∠DAE=∠BAC=60°，∠AED=95°，则∠ADE=180°-∠DAE-∠AED=180°-60°-95°=25°。
【答案】：25

9. (2025·芜湖)如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AE,BD 是角平分线,则∠1 的度数是.

135°

在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠BAC+∠ABC=90°。
∵AE，BD是角平分线，
∴∠BAE=1/2∠BAC，∠ABD=1/2∠ABC。
∴∠BAE+∠ABD=1/2(∠BAC+∠ABC)=1/2×90°=45°。
设AE与BD交于点O，在△AOB中，∠AOB=180°-(∠BAE+∠ABD)=180°-45°=135°，即∠1=135°。

10. (新定义)定义：在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的 2 倍,我们称这两个角互为“开心角”,这个三角形叫作“开心三角形”. 如图所示,在△ABC 中,∠ACB= 90°,∠A= 60°,点 D 是线段 AB 上一点(D 不与点 A,B 重合),连接 CD. 若△ACD 是“开心三角形”,则∠ACD 的度数为.

30°或40°或80°

在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，则∠B=30°。△ACD中，∠A=60°，设∠ACD=x，则∠ADC=180°-60°-x=120°-x（0°＜x＜90°，0°＜120°-x＜120°）。
△ACD为“开心三角形”，需有一角是另一角的2倍，分情况讨论：
1. 60°=2x→x=30°，此时∠ADC=90°，符合；
2. x=2(120°-x)→x=80°，此时∠ADC=40°，符合；
3. 120°-x=2x→x=40°，此时∠ADC=80°，符合。
综上，∠ACD=30°或40°或80°。

11. 如图所示,在△ABC 中,CD⊥AB 于点 D,DE//BC,且 DE 交 AC 于点 E,EF⊥CD 于点 G,交 BC 于点 F.
(1)求证：∠ADE= ∠EFC；
(2)若∠ACB= 80°,∠A= 60°,求∠DCB 的度数.

(1)证明：∵DE//BC，∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）。
∵CD⊥AB，EF⊥CD，∴AB//EF（垂直于同一条直线的两条直线平行）。
∴∠EFC=∠B（两直线平行，同位角相等）。
∴∠ADE=∠EFC。
(2)解：在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=60°，∠ACB=80°，
∴∠B=180°-60°-80°=40°。
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°。
在Rt△CDB中，∠DCB=90°-∠B=90°-40°=50°。
即∠DCB的度数为50°。

12. 如图所示,在△ABC 中,∠ABC,∠ACB 的平分线交于点 O.

(1)若∠ABC= 40°,∠ACB= 60°,则∠BOC= .
(2)若∠ABC+∠ACB= 116°,则∠BOC= .
(3)若∠A= 76°,则∠BOC= .
(4)若∠A= m°,则∠BOC= .
(5)若∠BOC= 120°,则∠A= .
(6)∠A 与∠BOC 之间具有怎样的数量关系? 为什么?

(1)$130^{\circ}$；
(2)$122^{\circ}$；
(3)$128^{\circ}$；
(4)$(90+\frac{m}{2})^{\circ}$；
(5)$60^{\circ}$；
(6)$\angle BOC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$，理由见解析。

(1) 已知$\angle ABC = 40^{\circ}$，$\angle ACB = 60^{\circ}$，根据角平分线的性质，$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 20^{\circ}$，$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BOC=180^{\circ}-\angle OBC - \angle OCB=180^{\circ}-20^{\circ}-30^{\circ}=130^{\circ}$。
(2) 因为$\angle ABC+\angle ACB = 116^{\circ}$，$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB$，所以$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)=58^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC=180^{\circ}-(\angle OBC+\angle OCB)=180^{\circ}-58^{\circ}=122^{\circ}$。
(3) 在$\triangle ABC$中，$\angle A = 76^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A = 104^{\circ}$。
$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=52^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC=180^{\circ}-(\angle OBC+\angle OCB)=128^{\circ}$。
(4) 在$\triangle ABC$中，$\angle A = m^{\circ}$，则$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A=(180 - m)^{\circ}$。
$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=(90-\frac{m}{2})^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC=180^{\circ}-(\angle OBC+\angle OCB)=(90 + \frac{m}{2})^{\circ}$。
(5) 设$\angle A=x^{\circ}$，由(4)可知$\angle BOC=(90+\frac{x}{2})^{\circ}$。
已知$\angle BOC = 120^{\circ}$，则$90+\frac{x}{2}=120$，$\frac{x}{2}=30$，解得$x = 60$，即$\angle A=60^{\circ}$。
(6) 由(4)可知$\angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$。
理由：在$\triangle ABC$中，$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A$，因为$BO$、$CO$分别平分$\angle ABC$、$\angle ACB$，所以$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC=180^{\circ}-(\angle OBC+\angle OCB)=180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$。