1. 抛物线 $ y = 2x^2 - 3 $ 的顶点坐标是()
A.$ (0, -3) $
B.$ (-3, 0) $
C.$ \left( -\frac{3}{4}, 0 \right) $
D.$ \left( 0, -\frac{3}{4} \right) $

A

对于抛物线 $y = ax^2 + k$ 的形式，其顶点坐标为 $(0, k)$。
在题目中，抛物线的方程为 $y = 2x^2 - 3$，符合 $y = ax^2 + k$ 的形式，其中 $a = 2$，$k = -3$。
因此，顶点坐标为 $(0, -3)$。

2. 在学校运动会上，一位运动员掷铅球，铅球的高 $ y $(单位: $ m $)与水平距离 $ x $(单位: $ m $)之间的函数关系式为 $ y = -0.2x^2 + 1.6x + 1.8 $，则此运动员的成绩是()
A.$ 10m $
B.$ 4m $
C.$ 5m $
D.$ 9m $

D

令 $ y = 0 $，则 $ -0.2x^2 + 1.6x + 1.8 = 0 $。方程两边同乘 -5 得 $ x^2 - 8x - 9 = 0 $，因式分解为 $ (x - 9)(x + 1) = 0 $，解得 $ x_1 = 9 $，$ x_2 = -1 $（舍去）。故此运动员的成绩是 9m。

3. 抛物线 $ y = (x + 2)^2 - 3 $ 可以由抛物线 $ y = x^2 $ 平移得到，则下列平移过程中正确的是()
A.先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位
B.先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
C.先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
D.先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位

B

抛物线 $y = x^2$ 的顶点为 $(0, 0)$，抛物线 $y = (x + 2)^2 - 3$ 的顶点为 $(-2, -3)$。
从 $(0, 0)$ 到 $(-2, -3)$，横坐标减少 $2$，表示向左平移 $2$ 个单位；纵坐标减少 $3$，表示向下平移 $3$ 个单位。
因此，平移过程为先向左平移 $2$ 个单位，再向下平移 $3$ 个单位。

4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $ A(3, 0) $，$ B(1, 3) $，将点 $ B $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 90° $ 得到点 $ C $，则过点 $ C $ 的反比例函数关系式为()

A.$ y = \frac{4}{x} $
B.$ y = \frac{6}{x} $
C.$ y = \frac{12}{x} $
D.$ y = \frac{16}{x} $

C

设点C坐标为(x,y)。
1. 计算点B相对于点A的坐标：B(1,3)，A(3,0)，向量AB=(1-3,3-0)=(-2,3)。
2. 将向量AB(-2,3)视为以A为原点的坐标(-2,3)，顺时针旋转90°。
3. 点(a,b)绕原点顺时针旋转90°后坐标为(b,-a)，故(-2,3)旋转后为(3,2)。
4. 转换回原坐标系，点C坐标为A(3,0)加(3,2)，即(3+3,0+2)=(6,2)。
5. 设反比例函数为y=k/x，代入C(6,2)得2=k/6，k=12，故函数为y=12/x。

5. 如图，点 $ P(m, 1) $，点 $ Q(-2, n) $ 都在反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象上，过点 $ P $ 分别向 $ x $ 轴、$ y $ 轴作垂线，垂足分别为点 $ M $，$ N $，连接 $ OP $，$ OQ $，$ PQ $。若四边形 $ OMPN $ 的面积记作 $ S_1 $，$ \triangle POQ $ 的面积记作 $ S_2 $，则()

A.$ S_1 : S_2 = 2 : 3 $
B.$ S_1 : S_2 = 1 : 1 $
C.$ S_1 : S_2 = 4 : 3 $
D.$ S_1 : S_2 = 5 : 3 $

C

∵点$P(m,1)$在$y=\frac{4}{x}$上，$\therefore m \cdot 1 = 4$，得$m=4$，即$P(4,1)$。
过$P$向坐标轴作垂线，四边形$OMPN$为矩形，其面积$S_1=OM \cdot ON=4 × 1=4$。
∵点$Q(-2,n)$在$y=\frac{4}{x}$上，$\therefore -2 \cdot n = 4$，得$n=-2$，即$Q(-2,-2)$。
求$\triangle POQ$面积$S_2$：
直线$PQ$的斜率$k=\frac{1 - (-2)}{4 - (-2)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，方程为$y - 1=\frac{1}{2}(x - 4)$。
令$y=0$，得$0 - 1=\frac{1}{2}(x - 4)$，解得$x=2$，即直线$PQ$与$x$轴交于$R(2,0)$。
$\triangle POQ$面积$=S_{\triangle ORP} + S_{\triangle ORQ}$，
其中$S_{\triangle ORP}=\frac{1}{2} × OR × |y_P|=\frac{1}{2} × 2 × 1=1$，
$S_{\triangle ORQ}=\frac{1}{2} × OR × |y_Q|=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$，
$\therefore S_2=1 + 2=3$。
则$S_1:S_2=4:3$。