[例题1]如图,AB是⊙O的直径,C是
AE的中点,CD⊥AB于点D,交AE于点F,连接AC.求证:AF= CF.

思路导引 在圆中要证
明边相等,常常将所证边相 等的问题转化为证明圆周角
相等的问题,
证明:方法一,连接BC,如图①. AB 是直径,, ∠ACB= 90°,即∠ACF+∠BCD = 90°.
CD⊥AB, ∠B+∠BCD= 90°.
∠B= ∠ACF.

C是AE的中点, AC= CE.
∴∠B= ∠CAE.∴∠ACF= ∠CAE.
∴AF= CF:
方法二,如图②,延长CD交⊙O于点H;∵AB是直径,CD⊥AB, AC= AH.
又C是AE的中点, AC= CE.
∴AH= CE.
∴∠ACF= ∠CAF. AF= CF.

[例题2]已知⊙O的弦AB长等于圆的半径,求弦AB所对的圆周角的度数.

思路导引 在圆中,要注意同一条弦(除直径外)对应两条不等的弧,则弦所对的圆周角也不等,故此题有两种情况.

解:情况1:如图①,连接OA,0B,在优弧AB上任取一点C,连接CA,CB.
∵OA= AB= OB,
∴△AOB是等边三角形.
∴∠A0B= 60°.
∴∠ACB= $\frac{1}{2}$∠A0B= 30°,
即弦AB所对的圆周角为30°.
情况2:如图②,连接0A,OB,在AB上
任取一点D,连接AD,OD,BD.
则∠BAD= $\frac{1}{2}$∠BOD,∠ABD= $\frac{1}{2}$∠AOD,
∴∠BAD+∠ABD= $\frac{1}{2}$(∠BOD+∠AOD)
=$\frac{1}{2}$∠AOB.
∵AB= OA= OB,
∴△AOB是等边三角形.
∴∠A0B= 60°.∴∠BAD+∠ABD= 30°.
∴∠ADB= 180°-(∠BAD+∠ABD)=
150°,即弦AB所对的圆周角为150°.
综上所述,弦AB所对的圆周角为30°
或150°.