【例题】下列各图中,不是位似图形的是______.
【思路点拨】由位似图形定义中的两个要素判断:①两个图形是否是相似图形;②对应顶点的连线是否相交于一点.两者缺一不可.
【解答】
【学法点睛】位似图形与相似图形的区别与联系:
区别:两个相似的图形只要求形状相同,而对位置不要求;位似图形不但形状相同,而且两者具有特殊的位置关系.
联系:位似图形是一种特殊的相似图形,相似图形的所有性质在位似图形中也适用;位似图形一定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形.

③

图①：两个三角形对应顶点的连线相交于一点$O$，且$AB// A^{\prime}B^{\prime}$，满足位似图形定义。
图②：两个三角形对应顶点的连线相交于一点$O$，且$\triangle ABC\sim\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$，满足位似图形定义。
图③：正方形与梯形不相似，不满足位似图形是相似图形这一条件，不是位似图形。
图④：两个圆是相似图形，且对应顶点的连线可看作相交于圆心$O$，满足位似图形定义。
图⑤：两个图形对应顶点的连线相交于一点$O$，且形状相似，满足位似图形定义。
所以不是位似图形的是③。

1. 如果两个位似多边形的位似比是1:2,那么它们的面积比是()
A.1:2
B.1:4
C.1:1
D.1:$\sqrt{2}$

答题卡：
解：∵两个位似多边形的位似比是1:2，
根据位似图形的性质，面积比等于位似比的平方，
∴面积比为 $1^2 : 2^2 = 1:4$。
故答案为：B. 1:4。

2. 如图,点O是等边三角形PQR的中心,P',Q',R'分别是OP,OQ,OR的中点,则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形,此时△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似中心分别为()

A.2、点P
B.$\frac{1}{2}$、点P
C.2、点O
D.$\frac{1}{2}$、点O

因为点$O$是等边三角形$PQR$的中心，$P',Q',R'$分别是$OP,OQ,OR$的中点，所以$\triangle P'Q'R'$与$\triangle PQR$对应点的连线都经过点$O$，且$\frac{OP'}{OP}=\frac{OQ'}{OQ}=\frac{OR'}{OR}=\frac{1}{2}$，所以$\triangle P'Q'R'$与$\triangle PQR$是位似三角形，位似比为$\frac{1}{2}$，位似中心为点$O$。
答案选D。

3. 大矩形的周长是与它位似的小矩形周长的2倍,小矩形的面积是$5\ cm^2$,大矩形的长为5 cm,则大矩形的宽为cm.

4

1. 已知大矩形的周长是小矩形周长的2倍。由矩形的周长公式$P = 2(l + w)$可知，周长与长和宽的线性尺寸成正比。
2. 因为两矩形位似，所以它们的对应边成比例。设小矩形的长和宽分别为$l_1$和$w_1$，大矩形的长和宽分别为$l_2$和$w_2$。
3. 根据题意，有$\frac{l_2 + w_2}{l_1 + w_1} = \frac{P_2}{P_1} = 2$，同时给出$l_2 = 5\ cm$。
4. 又因为两矩形位似，所以$\frac{l_2}{l_1} = \frac{w_2}{w_1}$，结合周长比例可知$\frac{l_2}{l_1} = \frac{w_2}{w_1} = 2$（因为所有对应边成相同比例）。
5. 由此可得$l_1 = \frac{l_2}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\ cm$。
6. 已知小矩形的面积是$5\ cm^2$，所以$l_1 × w_1 = 5$，解得$w_1 = \frac{5}{l_1} = \frac{5}{2.5} = 2\ cm$。
7. 因此，大矩形的宽$w_2 = 2w_1 = 2 × 2 = 4\ cm$。

4. 如图,△ABC与△DEF位似,其位似中心为点O,且$\frac{OB}{BE}= \frac{2}{3}$,若△ABC的周长为5,则△DEF的周长为.

本题可根据位似图形的性质，先求出两个位似图形的相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比来求解$\triangle DEF$的周长。
已知$\triangle ABC$与$\triangle DEF$位似，位似中心为点$O$，且$\frac{OB}{BE}=\frac{2}{3}$。
设$OB = 2x$，则$BE = 3x$，那么$OE=OB + BE = 2x + 3x = 5x$。
因为$\triangle ABC$与$\triangle DEF$位似，所以$\triangle ABC\sim\triangle DEF$，且相似比等于对应边的比，即$\frac{OB}{OE}=\frac{2x}{5x}=\frac{2}{5}$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比。
已知$\triangle ABC$的周长为$5$，设$\triangle DEF$的周长为$C$，则$\frac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle DEF}}=\frac{OB}{OE}$，即$\frac{5}{C}=\frac{2}{5}$。
由$\frac{5}{C}=\frac{2}{5}$，交叉相乘可得$2C = 5×5$，即$2C = 25$，解得$C = \frac{25}{2}=12.5$。
故答案为$12.5$。

5. 如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形,点O是位似中心,点A'是线段OA的中点,则$\frac{S_{四边形A'B'C'D'}}{S_{四边形ABCD}}= $.

$\because$点$A^{\prime}$是线段$OA$的中点，
$\therefore \frac{OA^{\prime}}{OA}=\frac{1}{2}$，
$\because$四边形$ABCD$与四边形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$是位似图形，
$\therefore$四边形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} \backsim$四边形$ABCD$，相似比为$\frac{OA^{\prime}}{OA}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{S_{四边形A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}}{S_{四边形ABCD}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
故答案为$\frac{1}{4}$。