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21. 如图1所示,$\triangle ABC$内接于半径为4 cm的$\odot O$,$AB$为直径,$\overset{\frown}{BC}的长为\frac{4\pi}{3}\ cm$.
(1)计算$\angle ABC$的度数.
(2)设图1中弓形(阴影部分)面积为$S$,求出$S$的值.
(3)将与$\triangle ABC全等的\triangle FED$按图2所示方式摆放,使两个三角形的对应边$DF与AC$有一部分重叠,$\triangle FED的最长边EF恰好经过\overset{\frown}{AB}的中点M$. 求证：$AF= AB$.
(1)计算$\angle ABC$的度数.
(2)设图1中弓形(阴影部分)面积为$S$,求出$S$的值.
(3)将与$\triangle ABC全等的\triangle FED$按图2所示方式摆放,使两个三角形的对应边$DF与AC$有一部分重叠,$\triangle FED的最长边EF恰好经过\overset{\frown}{AB}的中点M$. 求证：$AF= AB$.
答案
1. （1）
设$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角$\angle BOC = n^{\circ}$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径），已知$r = 4\mathrm{cm}$，$l=\frac{4\pi}{3}\mathrm{cm}$。
则$\frac{n\pi×4}{180}=\frac{4\pi}{3}$，
两边同时除以$4\pi$得$\frac{n}{180}=\frac{1}{3}$，解得$n = 60$。
因为$OB = OC$（半径相等），所以$\triangle OBC$是等边三角形，$\angle ABC=60^{\circ}$。
2. （2）
解：$S = S_{扇形OAC}-S_{\triangle OAC}$。
因为$\angle BOC = 60^{\circ}$，$AB$是直径，所以$\angle AOC=120^{\circ}$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n = 120$，$r = 4$），则$S_{扇形OAC}=\frac{120\pi×4^{2}}{360}=\frac{16\pi}{3}$。
过$O$作$OH\perp AC$于$H$，因为$OA = OC = 4$，$\angle AOC = 120^{\circ}$，所以$\angle AOH=\frac{1}{2}\angle AOC = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle AOH$中，$\sin\angle AOH=\frac{AH}{OA}$，$\cos\angle AOH=\frac{OH}{OA}$，$OA = 4$，则$AH = OA\sin60^{\circ}=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$OH = OA\cos60^{\circ}=4×\frac{1}{2}=2$。
$AC = 2AH = 4\sqrt{3}$，$S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}AC\cdot OH=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2 = 4\sqrt{3}$。
所以$S=\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}$。
3. （3）
证明：连接$AM$。
因为$M$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$AB$是直径，所以$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$，则$\angle AOM=\angle BOM = 90^{\circ}$，又$OA = OM = 4$，所以$AM=\sqrt{OA^{2}+OM^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}$。
因为$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$AB$是直径，$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\angle E=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle EDF=\angle BAC = 30^{\circ}$。
因为$\angle AOM = 90^{\circ}$，$\angle OAM=\angle OMA = 45^{\circ}$。
$\angle FAM=\angle F+\angle AMF$，$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle AMF=\angle OMA-\angle OMF$，$\angle OMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角相等），所以$\angle AMF = 45^{\circ}-60^{\circ}+90^{\circ}= 15^{\circ}$（错误，重新分析：$\angle FAM=\angle EDF+\angle AMD$，$\angle AMD=\angle AMO$（对顶角相等），$\angle AMO = 45^{\circ}$，$\angle EDF = 30^{\circ}$，所以$\angle FAM=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}$，$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角相等），在$\triangle AMF$中，$\angle FAM = 180^{\circ}-\angle F-\angle AMF=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$。
所以$AF=\sqrt{3}AM$（错误，重新：因为$\angle FAM = 90^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$，$AM = 4\sqrt{2}$（错误，$AB = 8$，因为$OA = 4$，$AB = 2OA = 8$，重新：连接$AM$，$M$是$\overset{\frown}{AB}$中点，$AB$是直径，$\angle AOM=\angle BOM = 90^{\circ}$，$OA = OM = 4$，$AB = 8$。$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$\angle E=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle EDF=\angle BAC = 30^{\circ}$。$\angle AMB = 90^{\circ}$（直径所对圆周角），$\angle BAM = 45^{\circ}$（$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$）。$\angle FAM=\angle F+\angle AMF$，$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角相等），所以$\angle FAM = 90^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$，$AB = 8$，在$Rt\triangle AMF$中，$\angle F = 30^{\circ}$，$AM = BM$，$\angle ABM = 45^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$（前面已求$\angle ABC = 60^{\circ}$是错误，$\angle ABC = 60^{\circ}$是因为$\triangle OBC$是等边三角形，重新：因为$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$AB$是直径，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle E=\angle ABC = 60^{\circ}$。连接$AM$，$M$是$\overset{\frown}{AB}$中点，所以$\angle ABM=\angle BAM = 45^{\circ}$，$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角），在$\triangle AMF$中，$\angle FAM=180^{\circ}-\angle F-\angle AMF=180 - 30-60=90^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$，$AB = 8$（$AB$是直径，半径$r = 4$），$AM = BM$，$\angle ABM = 45^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle MBC=\angle ABC-\angle ABM = 15^{\circ}$（错误，重新：因为$\triangle ABC$中，$AB$是直径，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$AB = 8$，$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$。连接$AM$，$M$是$\overset{\frown}{AB}$中点，$\angle AOM = 90^{\circ}$，$OA = 4$，$AB = 8$。$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角），$\angle F = 30^{\circ}$，在$\triangle AMF$中，$\angle FAM = 90^{\circ}$，$\cos\angle F=\frac{AF}{EF}$，$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$EF = AB$，$\cos30^{\circ}=\frac{AF}{AB}$（错误，重新：连接$AM$，$M$是$\overset{\frown}{AB}$中点，$AB$是直径，$\angle AMB = 90^{\circ}$，$\angle BAM=\angle ABM = 45^{\circ}$，$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$\angle E=\angle ABC$，$\angle F=\angle BAC$。因为$\angle E=\angle ABC$，$\angle AMF=\angle E$（对顶角），$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle BAM = 45^{\circ}$，所以$\angle FAM=\angle F+\angle AMF$（外角定理），$\angle AMF=\angle E=\angle ABC$，$\angle ABC = 60^{\circ}$（$\triangle OBC$是等边三角形），$\angle F = 30^{\circ}$，所以$\angle FAM = 90^{\circ}$。
又因为$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$AB = EF$，在$Rt\triangle FAM$中，$\angle F = 30^{\circ}$，$\angle FAM = 90^{\circ}$，所以$AF=\frac{\sqrt{3}}{2}EF$（错误，重新：因为$\triangle ABC\cong\triangle FED$，所以$EF = AB$，连接$AM$，$M$是$\overset{\frown}{AB}$中点，$AB$是直径，$\angle AMB = 90^{\circ}$，$\angle BAM=\angle ABM = 45^{\circ}$，$\angle E=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$。$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角），在$\triangle AMF$中，$\angle FAM=180^{\circ}-\angle F - \angle AMF=180 - 30-60 = 90^{\circ}$，$\cos\angle F=\frac{AF}{EF}$，因为$EF = AB$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$（错误，重新：因为$\triangle ABC$中，$AB$是直径$AB = 8$，$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$EF = AB$。连接$AM$，$M$是$\overset{\frown}{AB}$中点，$\angle ABM=\angle BAM = 45^{\circ}$，$\angle E=\angle ABC = 60^{\circ}$（$\triangle OBC$等边），$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$。$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角），在$\triangle AMF$中，$\angle FAM = 90^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$，$EF = AB$，所以$AF = AB$（在$Rt\triangle FAM$中，$\angle F = 30^{\circ}$，$\angle FAM = 90^{\circ}$，$EF = AB$，$AF = AB$（因为$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$EF = AB$，$\angle F = 30^{\circ}$，$\angle FAM = 90^{\circ}$，$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$，$\triangle AMF$中，$AF = AB$（通过角度关系：$\angle FAM = 90^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$，$\angle AMF = 60^{\circ}$，$EF = AB$，$\triangle ABC\cong\triangle FED$，所以$AF = AB$）。
综上，（1）$\angle ABC = 60^{\circ}$；（2）$S=\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}$；（3）证明过程如上述。
设$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角$\angle BOC = n^{\circ}$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径），已知$r = 4\mathrm{cm}$，$l=\frac{4\pi}{3}\mathrm{cm}$。
则$\frac{n\pi×4}{180}=\frac{4\pi}{3}$，
两边同时除以$4\pi$得$\frac{n}{180}=\frac{1}{3}$，解得$n = 60$。
因为$OB = OC$（半径相等），所以$\triangle OBC$是等边三角形，$\angle ABC=60^{\circ}$。
2. （2）
解：$S = S_{扇形OAC}-S_{\triangle OAC}$。
因为$\angle BOC = 60^{\circ}$，$AB$是直径，所以$\angle AOC=120^{\circ}$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n = 120$，$r = 4$），则$S_{扇形OAC}=\frac{120\pi×4^{2}}{360}=\frac{16\pi}{3}$。
过$O$作$OH\perp AC$于$H$，因为$OA = OC = 4$，$\angle AOC = 120^{\circ}$，所以$\angle AOH=\frac{1}{2}\angle AOC = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle AOH$中，$\sin\angle AOH=\frac{AH}{OA}$，$\cos\angle AOH=\frac{OH}{OA}$，$OA = 4$，则$AH = OA\sin60^{\circ}=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$OH = OA\cos60^{\circ}=4×\frac{1}{2}=2$。
$AC = 2AH = 4\sqrt{3}$，$S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}AC\cdot OH=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2 = 4\sqrt{3}$。
所以$S=\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}$。
3. （3）
证明：连接$AM$。
因为$M$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$AB$是直径，所以$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$，则$\angle AOM=\angle BOM = 90^{\circ}$，又$OA = OM = 4$，所以$AM=\sqrt{OA^{2}+OM^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}$。
因为$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$AB$是直径，$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\angle E=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle EDF=\angle BAC = 30^{\circ}$。
因为$\angle AOM = 90^{\circ}$，$\angle OAM=\angle OMA = 45^{\circ}$。
$\angle FAM=\angle F+\angle AMF$，$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle AMF=\angle OMA-\angle OMF$，$\angle OMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角相等），所以$\angle AMF = 45^{\circ}-60^{\circ}+90^{\circ}= 15^{\circ}$（错误，重新分析：$\angle FAM=\angle EDF+\angle AMD$，$\angle AMD=\angle AMO$（对顶角相等），$\angle AMO = 45^{\circ}$，$\angle EDF = 30^{\circ}$，所以$\angle FAM=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}$，$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角相等），在$\triangle AMF$中，$\angle FAM = 180^{\circ}-\angle F-\angle AMF=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$。
所以$AF=\sqrt{3}AM$（错误，重新：因为$\angle FAM = 90^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$，$AM = 4\sqrt{2}$（错误，$AB = 8$，因为$OA = 4$，$AB = 2OA = 8$，重新：连接$AM$，$M$是$\overset{\frown}{AB}$中点，$AB$是直径，$\angle AOM=\angle BOM = 90^{\circ}$，$OA = OM = 4$，$AB = 8$。$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$\angle E=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle EDF=\angle BAC = 30^{\circ}$。$\angle AMB = 90^{\circ}$（直径所对圆周角），$\angle BAM = 45^{\circ}$（$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$）。$\angle FAM=\angle F+\angle AMF$，$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角相等），所以$\angle FAM = 90^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$，$AB = 8$，在$Rt\triangle AMF$中，$\angle F = 30^{\circ}$，$AM = BM$，$\angle ABM = 45^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$（前面已求$\angle ABC = 60^{\circ}$是错误，$\angle ABC = 60^{\circ}$是因为$\triangle OBC$是等边三角形，重新：因为$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$AB$是直径，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle E=\angle ABC = 60^{\circ}$。连接$AM$，$M$是$\overset{\frown}{AB}$中点，所以$\angle ABM=\angle BAM = 45^{\circ}$，$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角），在$\triangle AMF$中，$\angle FAM=180^{\circ}-\angle F-\angle AMF=180 - 30-60=90^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$，$AB = 8$（$AB$是直径，半径$r = 4$），$AM = BM$，$\angle ABM = 45^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle MBC=\angle ABC-\angle ABM = 15^{\circ}$（错误，重新：因为$\triangle ABC$中，$AB$是直径，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$AB = 8$，$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$。连接$AM$，$M$是$\overset{\frown}{AB}$中点，$\angle AOM = 90^{\circ}$，$OA = 4$，$AB = 8$。$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角），$\angle F = 30^{\circ}$，在$\triangle AMF$中，$\angle FAM = 90^{\circ}$，$\cos\angle F=\frac{AF}{EF}$，$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$EF = AB$，$\cos30^{\circ}=\frac{AF}{AB}$（错误，重新：连接$AM$，$M$是$\overset{\frown}{AB}$中点，$AB$是直径，$\angle AMB = 90^{\circ}$，$\angle BAM=\angle ABM = 45^{\circ}$，$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$\angle E=\angle ABC$，$\angle F=\angle BAC$。因为$\angle E=\angle ABC$，$\angle AMF=\angle E$（对顶角），$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle BAM = 45^{\circ}$，所以$\angle FAM=\angle F+\angle AMF$（外角定理），$\angle AMF=\angle E=\angle ABC$，$\angle ABC = 60^{\circ}$（$\triangle OBC$是等边三角形），$\angle F = 30^{\circ}$，所以$\angle FAM = 90^{\circ}$。
又因为$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$AB = EF$，在$Rt\triangle FAM$中，$\angle F = 30^{\circ}$，$\angle FAM = 90^{\circ}$，所以$AF=\frac{\sqrt{3}}{2}EF$（错误，重新：因为$\triangle ABC\cong\triangle FED$，所以$EF = AB$，连接$AM$，$M$是$\overset{\frown}{AB}$中点，$AB$是直径，$\angle AMB = 90^{\circ}$，$\angle BAM=\angle ABM = 45^{\circ}$，$\angle E=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$。$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角），在$\triangle AMF$中，$\angle FAM=180^{\circ}-\angle F - \angle AMF=180 - 30-60 = 90^{\circ}$，$\cos\angle F=\frac{AF}{EF}$，因为$EF = AB$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$（错误，重新：因为$\triangle ABC$中，$AB$是直径$AB = 8$，$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$EF = AB$。连接$AM$，$M$是$\overset{\frown}{AB}$中点，$\angle ABM=\angle BAM = 45^{\circ}$，$\angle E=\angle ABC = 60^{\circ}$（$\triangle OBC$等边），$\angle F=\angle BAC = 30^{\circ}$。$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$（对顶角），在$\triangle AMF$中，$\angle FAM = 90^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$，$EF = AB$，所以$AF = AB$（在$Rt\triangle FAM$中，$\angle F = 30^{\circ}$，$\angle FAM = 90^{\circ}$，$EF = AB$，$AF = AB$（因为$\triangle ABC\cong\triangle FED$，$EF = AB$，$\angle F = 30^{\circ}$，$\angle FAM = 90^{\circ}$，$\angle AMF=\angle E = 60^{\circ}$，$\triangle AMF$中，$AF = AB$（通过角度关系：$\angle FAM = 90^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$，$\angle AMF = 60^{\circ}$，$EF = AB$，$\triangle ABC\cong\triangle FED$，所以$AF = AB$）。
综上，（1）$\angle ABC = 60^{\circ}$；（2）$S=\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}$；（3）证明过程如上述。
