3. 如图,已知 $AE \perp BC$,$DF \perp BC$,垂足分别为 $E$,$F$,$AE = DF$,$AB = DC$,则 $\triangle$$\cong \triangle$($HL$)。

$ABE$，$DCF$

$AE \perp BC$，$DF \perp BC$，可知$\angle AEB = \angle DFC = 90^\circ$，
在$Rt \triangle ABE$和$Rt \triangle DCF$中，
$AE = DF$，$AB = DC$，
根据$HL$定理，$Rt \triangle ABE \cong Rt \triangle DCF$。

4. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$PB = PQ$,$PR = PS$,$PR \perp AB$ 于 $R$,$PS \perp AC$ 于 $S$,则下列三个结论：① $AS = AR$；② $QP // AR$；③ $AB + AQ = 2AR$ 中()

A.全部正确
B.仅①和③正确
C.仅②和③正确
D.仅①和②正确

B

∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠ARP=∠ASP=90°．
在Rt△ARP和Rt△ASP中，$\left\{\begin{array}{l} PR=PS\\ AP=AP\end{array}\right.$，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），∴AR=AS，①正确．
∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠QSP=90°．
在Rt△BRP和Rt△QSP中，$\left\{\begin{array}{l} PB=PQ\\ PR=PS\end{array}\right.$，
∴Rt△BRP≌Rt△QSP（HL），∴BR=QS．
设AR=AS=x，BR=QS=y，则AB=AR+BR=x+y，AQ=AS-QS=x-y，
∴AB+AQ=(x+y)+(x-y)=2x=2AR，③正确．
QP与AR不一定平行，②错误．
综上，①③正确，②错误．

5. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 12$,$BC = 6$,$P$,$Q$ 两点分别在线段 $AC$ 和 $AC$ 的垂线 $AX$ 上移动,且 $PQ = AB$,要使 $\triangle ABC$ 和 $\triangle APQ$ 全等,则 $AP$ 的长为。

6或12

∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，即△APQ为Rt△，∠PAQ=90°，△ABC为Rt△，∠C=90°。要使△ABC≌△APQ，分两种情况：
1. 当Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）时，AP=BC=6，AQ=AC=12，此时PQ=AB，符合题意；
2. 当Rt△ABC≌Rt△AQP（HL）时，AP=AC=12，AQ=BC=6，此时PQ=AB，符合题意。
综上，AP的长为6或12。

6. (1)如图 1,$AC$,$BD$ 相交于点 $G$,点 $A$,$E$,$F$,$C$ 在一条直线上,$AE = CF$,过点 $E$,$F$ 分别作 $DE \perp AC$,$BF \perp AC$,若 $AB = CD$,试证明 $BD$ 平分线段 $EF$。
(2)若将图 1 变为图 2,其余条件不变时,上述结论是否仍然成立？请说明理由。

(1)证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°（垂直定义）。
∵A、E、F、C共线，AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE。
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD\\ AF=CE\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE（全等三角形对应边相等）。
在△DEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠DEG=∠BFG=90°\\ ∠DGE=∠BGF（对顶角相等）\\ DE=BF\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△BFG（AAS），
∴EG=FG，即BD平分EF。
(2)结论仍然成立。
理由：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°。
∵A、F、E、C共线，AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE。
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD\\ AF=CE\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE。
在△DEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠DEG=∠BFG=90°\\ ∠DGE=∠BGF（对顶角相等）\\ DE=BF\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△BFG（AAS），
∴EG=FG，即BD平分EF。