【典型例题1】如图,△ABC的外角是()

A. ∠1 B. ∠2 C. ∠3 D. ∠4
【答案】C
规律方法 三角形外角的识别：
(1)三角形的外角是由三角形的一边与另一边的延长线组成的；
(2)一个三角形的内角的对顶角不是这个三角形的外角；
(3)三角形的一个外角与相邻内角互为邻补角。

C

根据三角形外角定义，三角形的外角是由三角形的一边与另一边的延长线组成的角。观察图形，∠1是对顶角，不符合；∠2是三角形内角；∠3是由AB边的延长线与BC边组成，符合外角定义；∠4是内角的邻补角但未由另一边延长线组成。故△ABC的外角是∠3。

1. 如图,请写出△ABC的两个外角：,。

∠FAC,∠ACD

三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线组成的角。图中，∠FAC是△ABC的边BA延长线与边AC组成的角，∠ACD是△ABC的边BC延长线与边AC组成的角，均为△ABC的外角。

【典型例题2】如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,CD是△ABC的外角∠ACE的平分线。若∠A= 80°,求∠D的度数。

【解】∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠DBC= $\frac{1}{2}$∠ABC。
∵CD是∠ACE的平分线,
∴∠DCE= $\frac{1}{2}$∠ACE。
∵∠DCE是△BDC的外角,∠ACE是△ABC的外角,
∴∠D= ∠DCE-∠DBC= $\frac{1}{2}$∠ACE-$\frac{1}{2}$∠ABC= $\frac{1}{2}$(∠ACE-∠ABC)= $\frac{1}{2}$∠A= $\frac{1}{2}$×80°= 40°。
规律方法 角平分线夹角的“三种关系”：
(1)如典型例题图,BD,CD分别是△ABC内角和外角的角平分线,则有结论∠D= $\frac{1}{2}$∠A。
(2)如图1,BD,CD为△ABC内角的角平分线,则有结论∠D= 90°+$\frac{1}{2}$∠A。
(3)如图2,BD,CD为△ABC的外角的角平分线,则有结论∠D= 90°-$\frac{1}{2}$∠A。

∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC。
∵CD是∠ACE的平分线，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE。
∵∠DCE是△BDC的外角，∠ACE是△ABC的外角，
∴∠D=∠DCE-∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ACE-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠ACE-∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$×80°=40°。
故∠D的度数为40°。

2. 如图,点O,K分别在直线a,b上,则a,b相交所成的锐角是()

A.20°
B.30°
C.70°
D.80°

B

根据三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在$\triangle OK$（$O$，$K$为顶点，相交线与直线构成的三角形）中，已知一个内角为$70^{\circ}$，其相邻的外角为$100^{\circ}$，设$a$，$b$相交所成的锐角为$\angle C$。
因为$100^{\circ}$是$\triangle OK$的一个外角，则$100^{\circ}=70^{\circ}+\angle$（同一三角形内与$70^{\circ}$角不相邻的另一个内角）。
而$a$，$b$相交所成的角与上述三角形内与$70^{\circ}$角不相邻的另一个内角是对顶角，根据对顶角相等，$a$，$b$相交所成的锐角为$100^{\circ}-70^{\circ}=30^{\circ}$。