如图,在直角$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$,$AB = 5$,$D$,$E$,$F分别是AB$,$BC$,$AC$边上的动点,则$DE + EF + DF$的最小值是。

24/5

作点E关于AB的对称点E'，点E关于AC的对称点E''，连接E'E''，则DE+EF+FD的最小值为E'E''的长。由对称性质知AE'=AE，AE''=AE，∠E'AE''=2∠BAC。在Rt△ABC中，sin∠BAC=BC/AB=4/5，E'E''=2AE·sin∠BAC=8/5 AE。当AE最小时，E'E''最小，AE最小值为AC=3（E与C重合），故E'E''=8/5×3=24/5。

例3
(1)如图1,$P$,$Q两点在直线l$的两侧,请你在直线$l上找到点T$,使得$PT + QT$的长度最小,简述画法,并说明理由；
(2)如图2,$A$,$B$两地在一条河的两岸,现在要在河上造一座桥$MN$,桥造在何处可使从$A到B的路径AMNB$最短？(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)
将这个实际问题抽象出来,即：如图3,直线$a// b$,点$A$,$B分别位于直线a$,$b$的两侧,请你在直线$a上找到点M$,使得$MN垂直于直线b$,垂足为$N$,且$AM + MN + NB$的长度最小。在图3中画出点$M$,$N$,并简要说明点$M$,$N$的位置是如何找到的(不要求证明)。

(1)画法：连接PQ，交直线l于点T。
理由：两点之间线段最短，此时PT+QT=PQ，为最小值。
(2)画法：①将点A沿垂直于直线a的方向向下平移，平移距离等于直线a与b之间的距离，得到点A'；②连接A'B，交直线b于点N；③过点N作NM⊥直线a，垂足为M。
点M、N即为所求。

如图,在例3(2)的条件中,如果将“一条河”的条件变化为“两条河”,那么两座桥分别建在何处才能使得从$A地到达B$地的路程最短呢？在图中画出两座桥的位置,并简要说明这四个点的位置是如何找到的(不要求证明)。

1. 过点A作垂直于直线a（第一条河河岸）的直线，向下平移A点，平移距离为直线a与b之间的距离（第一条河宽），得到点A'。
2. 过点B作垂直于直线d（第二条河河岸）的直线，向上平移B点，平移距离为直线c与d之间的距离（第二条河宽），得到点B'。
3. 连接A'、B'，分别交直线b于点N，交直线c于点P。
4. 过点N作直线a的垂线，垂足为M（M在a上，N在b上）；过点P作直线d的垂线，垂足为Q（P在c上，Q在d上）。
四座桥的位置分别为：M（a上）、N（b上）、P（c上）、Q（d上）。

1. 小颖的爸爸要在某条街道$l上修建一个奶站P$,向居民区$A$,$B$提供牛奶。要使点$P到A$,$B$的距离之和最短,则下列作法正确的是()

B

作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时PA+PB最短。观察选项，B选项符合此作法。

2. 如图,在等边$\triangle ABC$中,点$E是AC$边的中点,点$P是\triangle ABC的中线AD$上的动点,且$AD = 9$,则$EP + CP$的最小值是()

A.$12$
B.$9$
C.$6$
D.$3$

B

在等边△ABC中，AD是中线，根据等边三角形三线合一性质，AD垂直平分BC，故AD上任意一点P到B、C距离相等，即PC=PB。则EP+CP=EP+BP，问题转化为在AD上找动点P，使EP+BP最小。
连接BE，交AD于点P，此时EP+BP=BE（两点之间线段最短），即EP+CP的最小值为BE的长。
∵AD是等边△ABC的中线（高），AD=9，设边长为a，由等边三角形高的公式得AD=√3/2 a=9，解得a=6√3。E是AC中点，∴AE=EC=3√3。
在△ABE中，AB=6√3，AE=3√3，∠BAE=60°，过E作EF⊥AB于F，在Rt△AEF中，∠EAF=60°，AE=3√3，∴AF=3√3×1/2=3√3/2，EF=3√3×√3/2=9/2。BF=AB-AF=6√3 - 3√3/2=9√3/2。
在Rt△BEF中，BE²=BF²+EF²=(9√3/2)²+(9/2)²=81，∴BE=9。即EP+CP的最小值为9。