例2 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AB = AD $,$ AC $ 平分 $ \angle BCD $,$ AE \perp BC $ 于点 $ E $,$ CE = 5 $,$ AE = 3 $。求四边形 $ ABCD $ 的面积。

名师导引 看到角平分线,可联想到补全角平分线的性质这个基本图形,得到全等三角形,从而实现线段、角及面积的转化。
巩固提升 如图,$ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,且 $ DB = DC $,$ DE \perp AB $ 于 $ E $,$ DF \perp AC $ 于 $ F $。
(1) 求证：$ \angle ABD + \angle ACD = 180^{\circ} $；
(2) 如果 $ AB = 8 $,$ AC = 5 $,求 $ AE $,$ BE $ 的长。

例2解答：
过点A作AF⊥CD于点F。
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF（角平分线性质），CE=CF（全等三角形对应边相等，△AEC≌△AFC）。
∵AE=3，∴AF=3；∵CE=5，∴CF=5。
∵AB=AD，AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF。
设BE=DF=x，则BC=BE+CE=x+5，CD=CF-DF=5-x。
四边形ABCD面积=S△ABC+S△ADC=1/2·BC·AE+1/2·CD·AF=1/2×3×(x+5)+1/2×3×(5-x)=1/2×3×10=15。
答案：15
巩固提升解答：
（1）证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，DB=DC，DE=DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。
∴∠DBE=∠DCF。∵∠DCF+∠ACD=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°。
（2）解：
由（1）知BE=CF，设BE=CF=x。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴AE=AF（Rt△ADE≌Rt△ADF）。
∵AE=AB-BE=8-x，AF=AC+CF=5+x，∴8-x=5+x，解得x=3/2。
∴BE=3/2，AE=8-3/2=13/2。
答案：（1）见证明过程；（2）AE=13/2，BE=3/2

(1)证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∵DB=DC，DE=DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。
∴∠EBD=∠FCD。
∵∠ABD+∠EBD=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°。
(2)在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∵AD=AD，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）。
∴AE=AF。
设AE=AF=x，则BE=AB-AE=8-x，CF=AF-AC=x-5。
∵Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴BE=CF。
∴8-x=x-5，解得x= $\frac{13}{2}$。
∴AE= $\frac{13}{2}$，BE=8- $\frac{13}{2}$= $\frac{3}{2}$。

1. 如果两个三角形是全等三角形,下列说法中正确的有()
①它们的对应角相等,②它们的对应边相等,③它们的周长相等,④它们的面积相等,⑤它们都是等边三角形
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

C

全等三角形的性质为对应角相等，对应边相等，由此可得它们的周长也相等，面积也相等，因为周长是边长之和，面积是相同形状和大小的体现。而全等三角形并不一定是等边三角形，所以⑤错误。故①②③④正确。

2. 已知 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $,$ \angle A = 50^{\circ} $,$ \angle B = 75^{\circ} $,则 $ \angle F $ 的大小为()
A.$ 50^{\circ} $
B.$ 55^{\circ} $
C.$ 65^{\circ} $
D.$ 75^{\circ} $

B

已知 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，所以对应角相等，即 $\angle F = \angle C$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 50°$，$\angle B = 75°$，根据三角形内角和为 $180°$，
$\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 50° - 75° = 55°$。
因此，$\angle F = \angle C = 55°$。

3. 如图,$ AB = AC $,点 $ E $,$ F $ 分别在线段 $ AB $,$ AC $ 上,$ CE $,$ BF $ 相交于点 $ D $,添加下列一个条件仍然不能判定 $ \triangle ABF \cong \triangle ACE $ 的是()

A.$ BE = CF $
B.$ \angle B = \angle C $
C.$ CE = BF $
D.$ \angle BEC = \angle CFB $

C

A. 当$BE = CF$时，
由于$AB = AC$，可得$AE=AB-BE$，$AF=AC-CF$，
所以$AE = AF$，
又$\angle A = \angle A$（公共角），
$AB = AC$，
根据$SAS$判定定理，可判定$\triangle ABF \cong \triangle ACE$。
B. 当$\angle B = \angle C$时，
$\angle A = \angle A$（公共角），
$AB = AC$，
根据$ASA$判定定理，可判定$\triangle ABF\cong \triangle ACE$。
C. 当$CE = BF$时，
已知$AB = AC$，$\angle A = \angle A$（公共角），
无法根据$SSA$判定$\triangle ABF \cong \triangle ACE$。
D. 当$\angle BEC = \angle CFB$时，
因为$\angle BEC = \angle A+\angle C$（外角定理），
$\angle CFB=\angle A+\angle B$，
所以$\angle B = \angle C$，
又$\angle A = \angle A$（公共角），
$AB = AC$，
根据$ASA$判定定理，可判定$\triangle ABF \cong \triangle ACE$。