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巩固提升 计算：
(1) $(a - 2b)^{2}(a + 2b)^{2}$； (2) $301^{2}$；
(3) $(x - y - 1)^{2}$。
(1) $(a - 2b)^{2}(a + 2b)^{2}$； (2) $301^{2}$；
(3) $(x - y - 1)^{2}$。
答案
(1) $(a - 2b)^{2}(a + 2b)^{2}$
$\begin{aligned}&=[(a - 2b)(a + 2b)]^{2}\\&=(a^{2} - 4b^{2})^{2}\\&=a^{4} - 8a^{2}b^{2} + 16b^{4}\end{aligned}$
(2) $301^{2}$
$\begin{aligned}&=(300 + 1)^{2}\\&=300^{2} + 2×300×1 + 1^{2}\\&=90000 + 600 + 1\\&=90601\end{aligned}$
(3) $(x - y - 1)^{2}$
$\begin{aligned}&=[(x - y) - 1]^{2}\\&=(x - y)^{2} - 2(x - y)×1 + 1^{2}\\&=x^{2} - 2xy + y^{2} - 2x + 2y + 1\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=[(a - 2b)(a + 2b)]^{2}\\&=(a^{2} - 4b^{2})^{2}\\&=a^{4} - 8a^{2}b^{2} + 16b^{4}\end{aligned}$
(2) $301^{2}$
$\begin{aligned}&=(300 + 1)^{2}\\&=300^{2} + 2×300×1 + 1^{2}\\&=90000 + 600 + 1\\&=90601\end{aligned}$
(3) $(x - y - 1)^{2}$
$\begin{aligned}&=[(x - y) - 1]^{2}\\&=(x - y)^{2} - 2(x - y)×1 + 1^{2}\\&=x^{2} - 2xy + y^{2} - 2x + 2y + 1\end{aligned}$
例4 计算：$(a + 2b)(a - b)-(a - 2b)^{2}$。
答案
$(a + 2b)(a - b) - (a - 2b)^{2}$
$= a^{2} - ab + 2ab - 2b^{2} - (a^{2} - 4ab + 4b^{2})$
$= a^{2} + ab - 2b^{2} - a^{2} + 4ab - 4b^{2}$
$= 5ab - 6b^{2}$
$= a^{2} - ab + 2ab - 2b^{2} - (a^{2} - 4ab + 4b^{2})$
$= a^{2} + ab - 2b^{2} - a^{2} + 4ab - 4b^{2}$
$= 5ab - 6b^{2}$
巩固提升 (1) 化简求值：$2(x - y)(-x - y)-3(x - 2y)(x + 3y)+3xy$,其中$x^{2}-4y^{2}= 1$。
(2) 先化简,再求值：$(x - 1)(x + 1)+(2x - 1)^{2}-2x(2x - 1)$,其中$x = 4$。
(2) 先化简,再求值：$(x - 1)(x + 1)+(2x - 1)^{2}-2x(2x - 1)$,其中$x = 4$。
答案
(1)
首先，对$2(x - y)(-x - y)$使用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$的变形$(-a - b)(a - b)=b^2 - a^2$，这里$a = x$，$b = y$，则$2(x - y)(-x - y)=2(y^2 - x^2)$。
对$3(x - 2y)(x + 3y)$展开得$3(x^2+3xy - 2xy-6y^2)=3(x^2+xy - 6y^2)=3x^2+3xy - 18y^2$。
原式$2(x - y)(-x - y)-3(x - 2y)(x + 3y)+3xy$
$=2y^2 - 2x^2-(3x^2+3xy - 18y^2)+3xy$
$=2y^2 - 2x^2 - 3x^2-3xy + 18y^2+3xy$
$=-5x^2 + 20y^2$
$=-5(x^2 - 4y^2)$
已知$x^2 - 4y^2 = 1$，代入上式得：$-5×1=-5$。
(2)
对$(x - 1)(x + 1)$使用平方差公式得$x^2 - 1$。
对$(2x - 1)^{2}$使用完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，这里$a = 2x$，$b = 1$，则$(2x - 1)^{2}=4x^2 - 4x + 1$。
对$2x(2x - 1)$展开得$4x^2 - 2x$。
原式$(x - 1)(x + 1)+(2x - 1)^{2}-2x(2x - 1)$
$=x^2 - 1+4x^2 - 4x + 1-(4x^2 - 2x)$
$=x^2 - 1+4x^2 - 4x + 1 - 4x^2+2x$
$=x^2 - 2x$
当$x = 4$时，$x^2 - 2x=4^2-2×4=16 - 8 = 8$。
综上，(1)的值为$-5$；(2)的值为$8$。
首先，对$2(x - y)(-x - y)$使用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$的变形$(-a - b)(a - b)=b^2 - a^2$，这里$a = x$，$b = y$，则$2(x - y)(-x - y)=2(y^2 - x^2)$。
对$3(x - 2y)(x + 3y)$展开得$3(x^2+3xy - 2xy-6y^2)=3(x^2+xy - 6y^2)=3x^2+3xy - 18y^2$。
原式$2(x - y)(-x - y)-3(x - 2y)(x + 3y)+3xy$
$=2y^2 - 2x^2-(3x^2+3xy - 18y^2)+3xy$
$=2y^2 - 2x^2 - 3x^2-3xy + 18y^2+3xy$
$=-5x^2 + 20y^2$
$=-5(x^2 - 4y^2)$
已知$x^2 - 4y^2 = 1$，代入上式得：$-5×1=-5$。
(2)
对$(x - 1)(x + 1)$使用平方差公式得$x^2 - 1$。
对$(2x - 1)^{2}$使用完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，这里$a = 2x$，$b = 1$，则$(2x - 1)^{2}=4x^2 - 4x + 1$。
对$2x(2x - 1)$展开得$4x^2 - 2x$。
原式$(x - 1)(x + 1)+(2x - 1)^{2}-2x(2x - 1)$
$=x^2 - 1+4x^2 - 4x + 1-(4x^2 - 2x)$
$=x^2 - 1+4x^2 - 4x + 1 - 4x^2+2x$
$=x^2 - 2x$
当$x = 4$时，$x^2 - 2x=4^2-2×4=16 - 8 = 8$。
综上，(1)的值为$-5$；(2)的值为$8$。
1. 计算$-a^{2}\cdot a^{3}$的结果是(
A.$a^{5}$
B.$-a^{5}$
C.$-a^{6}$
D.$a^{6}$
B
)A.$a^{5}$
B.$-a^{5}$
C.$-a^{6}$
D.$a^{6}$
答案
B
解析
根据同底数幂的乘法法则，有 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$。
在本题中，原式为 $-a^{2} \cdot a^{3}$，可以看作 $-1 \cdot a^{2} \cdot a^{3}$。
根据幂的乘法法则 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{2+3} = a^{5}$。
因此，原式变为 $-1 \cdot a^{5} = -a^{5}$。
在本题中，原式为 $-a^{2} \cdot a^{3}$，可以看作 $-1 \cdot a^{2} \cdot a^{3}$。
根据幂的乘法法则 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{2+3} = a^{5}$。
因此，原式变为 $-1 \cdot a^{5} = -a^{5}$。
2. 下列运算：①$a^{2}+a^{3}= 2a^{5}$；②$(a^{2})^{3}= a^{6}$；③$3^{0}× 2 - 1 = 5$；④$-\vert -5\vert + 3 = 8$。其中正确的有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
A
解析
① $a^{2}$ 和 $a^{3}$ 不是同类项，因此不能合并，所以 $a^{2} + a^{3}$ 不能简化为 $2a^{5}$，故此式错误。
② 根据指数的乘法法则，$(a^{2})^{3} = a^{2 × 3} = a^{6}$，此式正确。
③ 根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都是1，所以 $3^{0} = 1$，然后 $1 × 2 - 1 = 1$，与式子中的 $5$ 不符，故此式错误。
④ 根据绝对值的定义，$\vert -5\vert = 5$，所以 $-\vert -5\vert + 3 = -5 + 3 = -2$，与式子中的 $8$ 不符，故此式错误。
综上，只有②是正确的，所以正确的有1个。
② 根据指数的乘法法则，$(a^{2})^{3} = a^{2 × 3} = a^{6}$，此式正确。
③ 根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都是1，所以 $3^{0} = 1$，然后 $1 × 2 - 1 = 1$，与式子中的 $5$ 不符，故此式错误。
④ 根据绝对值的定义，$\vert -5\vert = 5$，所以 $-\vert -5\vert + 3 = -5 + 3 = -2$，与式子中的 $8$ 不符，故此式错误。
综上，只有②是正确的，所以正确的有1个。
3. 若$x^{2}+2(m - 3)x + 16是关于x$的完全平方式,则$m= $
7或-1
。答案
$7$或$-1$（若为填空题形式，答案体现两个值相关合理形式即可，本题推测为填空题故按此呈现答案形式）
解析
完全平方公式为$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，
在$x^{2}+2(m - 3)x + 16$中，$a^2=x^2$，$b^2 = 16$，则$a = x$，$b=\pm4$。
而$2ab = 2(m - 3)x$，即$2× x×(\pm4)=2(m - 3)x$，
当$b = 4$时，$2× x×4=2(m - 3)x$，可得$8 = 2(m - 3)$，解得$m - 3 = 4$，$m = 7$；
当$b=-4$时，$2× x×(-4)=2(m - 3)x$，可得$-8 = 2(m - 3)$，解得$m - 3=-4$，$m=-1$。
在$x^{2}+2(m - 3)x + 16$中，$a^2=x^2$，$b^2 = 16$，则$a = x$，$b=\pm4$。
而$2ab = 2(m - 3)x$，即$2× x×(\pm4)=2(m - 3)x$，
当$b = 4$时，$2× x×4=2(m - 3)x$，可得$8 = 2(m - 3)$，解得$m - 3 = 4$，$m = 7$；
当$b=-4$时，$2× x×(-4)=2(m - 3)x$，可得$-8 = 2(m - 3)$，解得$m - 3=-4$，$m=-1$。
4. 若$x^{2}+4x = 4$,则$(x - 2)^{2}-2(x + 1)\cdot (x - 1)$的值为
2
。答案
2
解析
$\begin{aligned}&(x - 2)^2 - 2(x + 1)(x - 1)\\=&x^2 - 4x + 4 - 2(x^2 - 1)\\=&x^2 - 4x + 4 - 2x^2 + 2\\=&-x^2 - 4x + 6\\=&-(x^2 + 4x) + 6\end{aligned}$
因为$x^2 + 4x = 4$，所以原式$=-4 + 6 = 2$
因为$x^2 + 4x = 4$，所以原式$=-4 + 6 = 2$
5. 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式。给出以下 4 组图形及相应的代数恒等式：
其中,图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有
其中,图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有
①③④
。答案
①③④
解析
①图形为边长(a+b)的正方形，分割为边长a的正方形、边长b的正方形及两个长a宽b的长方形，面积和为a²+2ab+b²=(a+b)²，正确；②图形若为边长a的正方形，右侧和下侧各有宽b的部分，无法直接分割出(a-b)²，错误；③图形通过割补法将边长a的正方形减去边长b的正方形，拼成边长(a+b)和(a-b)的长方形，面积(a+b)(a-b)=a²-b²，正确；④图形为边长(a+b)的大正方形，减去4个长a宽b的长方形，剩余部分面积为(a-b)²=(a+b)²-4ab，正确。
6. 计算：
(1) $(-2m^{2}n)\cdot (-mn)^{2}\cdot (-m^{2})$；
(2) $[(2x^{2}y)^{3}-x(x^{3}y^{2})]÷ (x^{2}y)^{2}$；
(3) $(a - 2b - 1)(a + 2b - 1)$。
(1) $(-2m^{2}n)\cdot (-mn)^{2}\cdot (-m^{2})$；
(2) $[(2x^{2}y)^{3}-x(x^{3}y^{2})]÷ (x^{2}y)^{2}$；
(3) $(a - 2b - 1)(a + 2b - 1)$。
答案
(1)
$(-mn)^{2}=m^{2}n^{2}$
$(-2m^{2}n)\cdot m^{2}n^{2}\cdot (-m^{2})$
$=(-2m^{2 + 2}n^{1+2})\cdot (-m^{2})$
$=(-2m^{4}n^{3})\cdot (-m^{2})$
$=2m^{4 + 2}n^{3}$
$=2m^{6}n^{3}$
(2)
$(2x^{2}y)^{3}=8x^{6}y^{3}$
$x(x^{3}y^{2})=x^{4}y^{2}$
$(2x^{2}y)^{3}-x(x^{3}y^{2})=8x^{6}y^{3}-x^{4}y^{2}$
$(x^{2}y)^{2}=x^{4}y^{2}$
$[(2x^{2}y)^{3}-x(x^{3}y^{2})]÷(x^{2}y)^{2}$
$=(8x^{6}y^{3}-x^{4}y^{2})÷ x^{4}y^{2}$
$=8x^{6}y^{3}÷ x^{4}y^{2}-x^{4}y^{2}÷ x^{4}y^{2}$
$=8x^{6 - 4}y^{3 - 2}-1$
$=8x^{2}y - 1$
(3)
$(a - 2b - 1)(a + 2b - 1)$
$=[(a - 1)-2b][(a - 1)+2b]$
根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^{2}-n^{2}$，这里$m = a - 1$，$n = 2b$
$=(a - 1)^{2}-(2b)^{2}$
$=a^{2}-2a + 1-4b^{2}$
综上，答案依次为：(1)$2m^{6}n^{3}$；(2)$8x^{2}y - 1$；(3)$a^{2}-2a + 1-4b^{2}$。
$(-mn)^{2}=m^{2}n^{2}$
$(-2m^{2}n)\cdot m^{2}n^{2}\cdot (-m^{2})$
$=(-2m^{2 + 2}n^{1+2})\cdot (-m^{2})$
$=(-2m^{4}n^{3})\cdot (-m^{2})$
$=2m^{4 + 2}n^{3}$
$=2m^{6}n^{3}$
(2)
$(2x^{2}y)^{3}=8x^{6}y^{3}$
$x(x^{3}y^{2})=x^{4}y^{2}$
$(2x^{2}y)^{3}-x(x^{3}y^{2})=8x^{6}y^{3}-x^{4}y^{2}$
$(x^{2}y)^{2}=x^{4}y^{2}$
$[(2x^{2}y)^{3}-x(x^{3}y^{2})]÷(x^{2}y)^{2}$
$=(8x^{6}y^{3}-x^{4}y^{2})÷ x^{4}y^{2}$
$=8x^{6}y^{3}÷ x^{4}y^{2}-x^{4}y^{2}÷ x^{4}y^{2}$
$=8x^{6 - 4}y^{3 - 2}-1$
$=8x^{2}y - 1$
(3)
$(a - 2b - 1)(a + 2b - 1)$
$=[(a - 1)-2b][(a - 1)+2b]$
根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^{2}-n^{2}$，这里$m = a - 1$，$n = 2b$
$=(a - 1)^{2}-(2b)^{2}$
$=a^{2}-2a + 1-4b^{2}$
综上，答案依次为：(1)$2m^{6}n^{3}$；(2)$8x^{2}y - 1$；(3)$a^{2}-2a + 1-4b^{2}$。
7. (1) 先化简,再求值：$(a - 3b)(a + 3b)+(a - 3b)^{2}$,其中$a = - 3$,$b = \frac{1}{3}$。
(2) 已知$x^{2}+x - 1 = 0$,求$2023x^{3}+2022x^{2}-2024x - 2025$的值。
(2) 已知$x^{2}+x - 1 = 0$,求$2023x^{3}+2022x^{2}-2024x - 2025$的值。
答案
(1) 化简：
$(a - 3b)(a + 3b) + (a - 3b)^2$
$=a^2 - (3b)^2 + (a^2 - 6ab + 9b^2)$
$=a^2 - 9b^2 + a^2 - 6ab + 9b^2$
$=2a^2 - 6ab$
求值：当$a = -3$，$b = \frac{1}{3}$时，
$2a^2 - 6ab = 2×(-3)^2 - 6×(-3)×\frac{1}{3} = 2×9 - 6×(-1) = 18 + 6 = 24$
(2) 由$x^2 + x - 1 = 0$得$x^2 = 1 - x$，
$2023x^3 + 2022x^2 - 2024x - 2025$
$=2023x\cdot x^2 + 2022x^2 - 2024x - 2025$
$=2023x(1 - x) + 2022x^2 - 2024x - 2025$
$=2023x - 2023x^2 + 2022x^2 - 2024x - 2025$
$=(-2023x^2 + 2022x^2) + (2023x - 2024x) - 2025$
$=-x^2 - x - 2025$
$=-(x^2 + x) - 2025$
又$x^2 + x = 1$，则$-(x^2 + x) - 2025 = -1 - 2025 = -2026$
(1) 24；(2) -2026
$(a - 3b)(a + 3b) + (a - 3b)^2$
$=a^2 - (3b)^2 + (a^2 - 6ab + 9b^2)$
$=a^2 - 9b^2 + a^2 - 6ab + 9b^2$
$=2a^2 - 6ab$
求值：当$a = -3$，$b = \frac{1}{3}$时，
$2a^2 - 6ab = 2×(-3)^2 - 6×(-3)×\frac{1}{3} = 2×9 - 6×(-1) = 18 + 6 = 24$
(2) 由$x^2 + x - 1 = 0$得$x^2 = 1 - x$，
$2023x^3 + 2022x^2 - 2024x - 2025$
$=2023x\cdot x^2 + 2022x^2 - 2024x - 2025$
$=2023x(1 - x) + 2022x^2 - 2024x - 2025$
$=2023x - 2023x^2 + 2022x^2 - 2024x - 2025$
$=(-2023x^2 + 2022x^2) + (2023x - 2024x) - 2025$
$=-x^2 - x - 2025$
$=-(x^2 + x) - 2025$
又$x^2 + x = 1$，则$-(x^2 + x) - 2025 = -1 - 2025 = -2026$
(1) 24；(2) -2026
