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变式训练 观察下面三行数：
$-2$,$4$,$-8$,$16$,$-32$,$64$,…； ①
$0$,$6$,$-6$,$18$,$-30$,$66$,…； ②
$\dfrac{1}{2}$,$-1$,$2$,$-4$,$8$,$-16$,…。 ③
(1)请直接写出①行的第 $100$ 项：
(2)②行的第 $2024$ 项是
(3)③行与①行的数有什么关系？
(4)取每行的第 $10$ 个数,求其和。
$-2$,$4$,$-8$,$16$,$-32$,$64$,…； ①
$0$,$6$,$-6$,$18$,$-30$,$66$,…； ②
$\dfrac{1}{2}$,$-1$,$2$,$-4$,$8$,$-16$,…。 ③
(1)请直接写出①行的第 $100$ 项：
$2^{100}$
,第 $n$ 项：$(-2)^{n}$
；(2)②行的第 $2024$ 项是
$2^{2024}+2$
；(3)③行与①行的数有什么关系？
③行的数是①行对应数乘以$-\frac{1}{4}$
(4)取每行的第 $10$ 个数,求其和。
1794
答案
(1)
①行的第$100$项：$(-2)^{100}=2^{100}$；
第$n$项：$(-2)^{n}$。
(2)
观察②行数与①行数的关系，②行的每一项都是①行对应项加$2$，①行第$n$项为$(-2)^{n}$，所以②行第$2024$项是$(-2)^{2024}+2 = 2^{2024}+2$。
(3)
③行的数是①行对应数乘以$-\frac{1}{4}$（或③行第$n$项为$\frac{(-2)^{n}}{- 4}=-\frac{1}{4}×(-2)^{n}$ ）。
(4)
①行第$10$个数为$(-2)^{10}=1024$；
②行第$10$个数为$(-2)^{10}+2 = 1026$；
③行第$10$个数为$-\frac{1}{4}×(-2)^{10}=-256$；
三数之和为$1024 + 1026-256 = 1794$。
综上，答案依次为：(1)$2^{100}$；$(-2)^{n}$；(2)$2^{2024}+2$；(3)③行的数是①行对应数乘以$-\frac{1}{4}$；(4)$1794$。
①行的第$100$项：$(-2)^{100}=2^{100}$；
第$n$项：$(-2)^{n}$。
(2)
观察②行数与①行数的关系，②行的每一项都是①行对应项加$2$，①行第$n$项为$(-2)^{n}$，所以②行第$2024$项是$(-2)^{2024}+2 = 2^{2024}+2$。
(3)
③行的数是①行对应数乘以$-\frac{1}{4}$（或③行第$n$项为$\frac{(-2)^{n}}{- 4}=-\frac{1}{4}×(-2)^{n}$ ）。
(4)
①行第$10$个数为$(-2)^{10}=1024$；
②行第$10$个数为$(-2)^{10}+2 = 1026$；
③行第$10$个数为$-\frac{1}{4}×(-2)^{10}=-256$；
三数之和为$1024 + 1026-256 = 1794$。
综上，答案依次为：(1)$2^{100}$；$(-2)^{n}$；(2)$2^{2024}+2$；(3)③行的数是①行对应数乘以$-\frac{1}{4}$；(4)$1794$。
1. 式子 $-2^{2}$ 的意义是(
A.$2$ 的平方
B.$-2$ 的平方
C.$2$ 的平方的相反数
D.$-2$ 的平方的相反数
C
)A.$2$ 的平方
B.$-2$ 的平方
C.$2$ 的平方的相反数
D.$-2$ 的平方的相反数
答案
C
解析
根据乘方运算顺序，先计算指数运算。$-2^2$中，指数2的底数是2，先算$2^2=4$，再取其相反数，即$-4$。所以式子$-2^2$的意义是2的平方的相反数。
2. 下列各组数中,结果相等的是(
A.$-2^{2}$ 与 $(-2)^{2}$
B.$2^{2}$ 与 $(-2)^{2}$
C.$2^{2}$ 与 $-(-2)^{2}$
D.$(-2)^{2}$ 与 $-(-2)^{2}$
B
)A.$-2^{2}$ 与 $(-2)^{2}$
B.$2^{2}$ 与 $(-2)^{2}$
C.$2^{2}$ 与 $-(-2)^{2}$
D.$(-2)^{2}$ 与 $-(-2)^{2}$
答案
B
解析
A. $-2^{2} = - (2 × 2) = -4$，$(-2)^{2} = (-2) × (-2) = 4$，不相等；
B. $2^{2} = 2 × 2 = 4$，$(-2)^{2} = (-2) × (-2) = 4$，相等；
C. $2^{2} = 2 × 2 = 4$，$-(-2)^{2} = - ( (-2) × (-2) ) = -4$，不相等；
D. $(-2)^{2} = (-2) × (-2) = 4$，$-(-2)^{2} = - ( (-2) × (-2) ) = -4$，不相等。
B. $2^{2} = 2 × 2 = 4$，$(-2)^{2} = (-2) × (-2) = 4$，相等；
C. $2^{2} = 2 × 2 = 4$，$-(-2)^{2} = - ( (-2) × (-2) ) = -4$，不相等；
D. $(-2)^{2} = (-2) × (-2) = 4$，$-(-2)^{2} = - ( (-2) × (-2) ) = -4$，不相等。
3. 若 $a= -2× \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}$,$b= \left(-2× \dfrac{1}{3}\right)^{2}$,$c= -\left(2× \dfrac{1}{3}\right)^{2}$,则(
A.$a＞b＞c$
B.$b＞c＞a$
C.$b＞a＞c$
D.$c＞a＞b$
C
)A.$a＞b＞c$
B.$b＞c＞a$
C.$b＞a＞c$
D.$c＞a＞b$
答案
C
解析
首先计算 $a$ 的值:
$a = -2 × \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = -2 × \frac{1}{9} = -\frac{2}{9}$，
接着计算 $b$ 的值:
$b = \left(-2 × \frac{1}{3}\right)^{2} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9}$，
最后计算 $c$ 的值:
$c = -\left(2 × \frac{1}{3}\right)^{2} = -\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = -\frac{4}{9}$，
现在，比较这三个数的大小：
$\frac{4}{9} ＞ -\frac{2}{9} ＞ -\frac{4}{9}$，
即：
$b ＞ a ＞ c$。
$a = -2 × \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = -2 × \frac{1}{9} = -\frac{2}{9}$，
接着计算 $b$ 的值:
$b = \left(-2 × \frac{1}{3}\right)^{2} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9}$，
最后计算 $c$ 的值:
$c = -\left(2 × \frac{1}{3}\right)^{2} = -\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = -\frac{4}{9}$，
现在，比较这三个数的大小：
$\frac{4}{9} ＞ -\frac{2}{9} ＞ -\frac{4}{9}$，
即：
$b ＞ a ＞ c$。
4. 二进制是一种只包含 $0$ 和 $1$ 两个数字的计数系统,它是计算机内部处理数据的基础。在二进制数中,每一位的计数单位都是 $2$ 的幂,从右到左依次为 $2^{0}$,$2^{1}$,$2^{2}$,…$$例如,二进制数 $1011$ 转换为十进制数的计算过程是：$1× 2^{3}+0× 2^{2}+1× 2^{1}+1× 2^{0}= 8+0+2+1= 11$。下列二进制数转换为十进制后等于 $18$ 的是(
A.$11010$
B.$10111$
C.$10011$
D.$10010$
D
)A.$11010$
B.$10111$
C.$10011$
D.$10010$
答案
D
解析
要找出二进制数转换为十进制后等于18的选项，依次计算各选项的十进制值：
A. 11010：
$1 × 2^4 + 1 × 2^3 + 0 × 2^2 + 1 × 2^1 + 0 × 2^0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26$
B. 10111：
$1 × 2^4 + 0 × 2^3 + 1 × 2^2 + 1 × 2^1 + 1 × 2^0 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23$
C. 10011：
$1 × 2^4 + 0 × 2^3 + 0 × 2^2 + 1 × 2^1 + 1 × 2^0 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19$
D. 10010：
$1 × 2^4 + 0 × 2^3 + 0 × 2^2 + 1 × 2^1 + 0 × 2^0 = 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = 18$
只有选项D的十进制值为18。
5. 观察数列：$-2$,$4$,$-8$,$16$,…$$,第 $7$ 个数为
-128
。答案
-128
解析
观察数列，符号规律为负、正交替，第奇数个数为负，第偶数个数为正；数字部分为2,4,8,16,…，即2¹,2²,2³,2⁴,…。第n个数可表示为(-2)ⁿ。当n=7时，(-2)⁷=-128。
6. 计算：
(1)$-1^{2024}× [4-(-3)^{2}]+3÷ \left(-\dfrac{3}{4}\right)$；
(2)$-2^{2}× \left(-\dfrac{1}{2}\right)+8÷ (-2)^{2}$；
(3)$(-81)÷ \dfrac{9}{5}× \dfrac{5}{9}÷ (-5)^{2}$；
(4)$-1^{4}-\dfrac{1}{7}× [2^{2}-(-3)^{2}]$。
(1)$-1^{2024}× [4-(-3)^{2}]+3÷ \left(-\dfrac{3}{4}\right)$；
(2)$-2^{2}× \left(-\dfrac{1}{2}\right)+8÷ (-2)^{2}$；
(3)$(-81)÷ \dfrac{9}{5}× \dfrac{5}{9}÷ (-5)^{2}$；
(4)$-1^{4}-\dfrac{1}{7}× [2^{2}-(-3)^{2}]$。
答案
(1) 原式$=-1×(4-9)+3×(-\frac{4}{3})$
$=-1×(-5)+(-4)$
$=5-4$
$=1$
(2) 原式$=-4×(-\frac{1}{2})+8÷4$
$=2+2$
$=4$
(3) 原式$=(-81)×\frac{5}{9}×\frac{5}{9}÷25$
$=-45×\frac{5}{9}÷25$
$=-25÷25$
$=-1$
(4) 原式$=-1-\frac{1}{7}×(4-9)$
$=-1-\frac{1}{7}×(-5)$
$=-1+\frac{5}{7}$
$=-\frac{2}{7}$
$=-1×(-5)+(-4)$
$=5-4$
$=1$
(2) 原式$=-4×(-\frac{1}{2})+8÷4$
$=2+2$
$=4$
(3) 原式$=(-81)×\frac{5}{9}×\frac{5}{9}÷25$
$=-45×\frac{5}{9}÷25$
$=-25÷25$
$=-1$
(4) 原式$=-1-\frac{1}{7}×(4-9)$
$=-1-\frac{1}{7}×(-5)$
$=-1+\frac{5}{7}$
$=-\frac{2}{7}$
