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8. 如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6.若A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A,则这根绳子的长度可能是(
A.8
B.9
C.10
D.11
D
)A.8
B.9
C.10
D.11
答案
D
解析
圆锥底面周长：$2\pi×2 = 4\pi$。
圆锥侧面展开图扇形弧长：$4\pi$，扇形半径$R=6$。
设扇形圆心角为$n^\circ$，则$\frac{n\pi×6}{180}=4\pi$，解得$n=120$。
展开图中，绳子最短长度为扇形中圆心角$120^\circ$所对弦长：$2×6×\sin60^\circ=6\sqrt{3}\approx10.392$。
绳子长度需大于$6\sqrt{3}$，选项中只有11符合。
D
圆锥侧面展开图扇形弧长：$4\pi$，扇形半径$R=6$。
设扇形圆心角为$n^\circ$，则$\frac{n\pi×6}{180}=4\pi$，解得$n=120$。
展开图中，绳子最短长度为扇形中圆心角$120^\circ$所对弦长：$2×6×\sin60^\circ=6\sqrt{3}\approx10.392$。
绳子长度需大于$6\sqrt{3}$，选项中只有11符合。
D
9. 如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”.将半径为5的“等边扇形”围成一个圆锥,则圆锥的侧面积为(
A.$\frac{25}{2}$
B.$\frac{25}{2}\pi$
C.50
D.$50\pi$
A
)A.$\frac{25}{2}$
B.$\frac{25}{2}\pi$
C.50
D.$50\pi$
答案
A
解析
扇形弧长$ l = 5 $，半径$ R = 5 $。圆锥侧面积等于扇形面积，扇形面积公式为$ S = \frac{1}{2}lR $，则$ S = \frac{1}{2} × 5 × 5 = \frac{25}{2} $。
A
A
10. 如图,有一个直径为1m的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC.
(1)求被剪掉的阴影部分的面积；
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径是多少?
(1)求被剪掉的阴影部分的面积；
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径是多少?
答案
1. （1）
连接$BC$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$（同圆中，圆心角相等所对的弦相等），$BC$是直径，$BC = 1m$。
根据勾股定理$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，且$AB = AC$，可得$2AB^{2}=1^{2}$，则$AB = AC=\frac{\sqrt{2}}{2}m$。
圆的面积$S_{圆}=\pi r^{2}$（$r=\frac{1}{2}m$），所以$S_{圆}=\pi×(\frac{1}{2})^{2}=\frac{\pi}{4}(m^{2})$。
扇形$ABC$的面积$S_{扇形}=\frac{n\pi R^{2}}{360}$（$n = 90$，$R = AB=\frac{\sqrt{2}}{2}m$），则$S_{扇形}=\frac{90\pi×(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}{360}$。
先计算$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，所以$S_{扇形}=\frac{90\pi×\frac{1}{2}}{360}=\frac{\pi}{8}(m^{2})$。
阴影部分面积$S = S_{圆}-S_{扇形}$。
$S=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{8}=\frac{2\pi - \pi}{8}=\frac{\pi}{8}(m^{2})$。
2. （2）
设圆锥底面圆半径为$r$。
扇形$ABC$的弧长$l=\frac{n\pi R}{180}$（$n = 90$，$R=\frac{\sqrt{2}}{2}m$），则$l=\frac{90\pi×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}(m)$。
因为圆锥底面圆的周长$C = 2\pi r$，且$C = l$（圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形的弧长）。
即$2\pi r=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}$。
两边同时除以$\pi$得$2r=\frac{\sqrt{2}}{4}$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{8}(m)$。
综上，（1）被剪掉的阴影部分的面积为$\frac{\pi}{8}m^{2}$；（2）该圆锥底面圆的半径是$\frac{\sqrt{2}}{8}m$。
连接$BC$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$（同圆中，圆心角相等所对的弦相等），$BC$是直径，$BC = 1m$。
根据勾股定理$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，且$AB = AC$，可得$2AB^{2}=1^{2}$，则$AB = AC=\frac{\sqrt{2}}{2}m$。
圆的面积$S_{圆}=\pi r^{2}$（$r=\frac{1}{2}m$），所以$S_{圆}=\pi×(\frac{1}{2})^{2}=\frac{\pi}{4}(m^{2})$。
扇形$ABC$的面积$S_{扇形}=\frac{n\pi R^{2}}{360}$（$n = 90$，$R = AB=\frac{\sqrt{2}}{2}m$），则$S_{扇形}=\frac{90\pi×(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}{360}$。
先计算$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，所以$S_{扇形}=\frac{90\pi×\frac{1}{2}}{360}=\frac{\pi}{8}(m^{2})$。
阴影部分面积$S = S_{圆}-S_{扇形}$。
$S=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{8}=\frac{2\pi - \pi}{8}=\frac{\pi}{8}(m^{2})$。
2. （2）
设圆锥底面圆半径为$r$。
扇形$ABC$的弧长$l=\frac{n\pi R}{180}$（$n = 90$，$R=\frac{\sqrt{2}}{2}m$），则$l=\frac{90\pi×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}(m)$。
因为圆锥底面圆的周长$C = 2\pi r$，且$C = l$（圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形的弧长）。
即$2\pi r=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}$。
两边同时除以$\pi$得$2r=\frac{\sqrt{2}}{4}$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{8}(m)$。
综上，（1）被剪掉的阴影部分的面积为$\frac{\pi}{8}m^{2}$；（2）该圆锥底面圆的半径是$\frac{\sqrt{2}}{8}m$。
11. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥,如图①,它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1:2.制作这种外包装需要用如图②所示的等腰三角形材料,其中,AB= AC,AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥时,AE,AF恰好重合.
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小；
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm,求加工材料剩余部分(图②中阴影部分)的面积.
(结果保留π)
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小；
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm,求加工材料剩余部分(图②中阴影部分)的面积.
(结果保留π)
答案
(1)设圆锥底面直径$ED = d$，母线$AD = 2d$，底面半径$r=\frac{d}{2}$。
圆锥底面周长$C = \pi d$，侧面展开图扇形$AEF$的弧长等于底面周长，即$l_{EF}=\pi d$。
扇形半径为母线长$AD = 2d$，设扇形圆心角为$\theta$，则$l_{EF}=\frac{\theta}{360^\circ}×2\pi×2d$。
由$\pi d=\frac{\theta}{360^\circ}×4\pi d$，解得$\theta = 90^\circ$，即$\angle EAF = 90^\circ$。
等腰$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$，$AB = AC$，扇形$AEF$圆心角$\angle EAF = 90^\circ$，且$AE = AF = AD$，故$\angle BAC=\angle EAF = 90^\circ$。
(2)$ED = 5cm$，则母线$AD = 2×5 = 10cm$。
$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$AD$为斜边上的高，$AD=\frac{BC}{2}$，$BC = 2AD = 20cm$，面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×20×10 = 100cm^2$。
扇形$AEF$半径$AD = 10cm$，圆心角$90^\circ$，面积$S_{扇形}=\frac{90^\circ}{360^\circ}×\pi×10^2=25\pi cm^2$。
阴影部分面积$=100 - 25\pi cm^2$。
(1) $90^\circ$
(2) $100 - 25\pi$
圆锥底面周长$C = \pi d$，侧面展开图扇形$AEF$的弧长等于底面周长，即$l_{EF}=\pi d$。
扇形半径为母线长$AD = 2d$，设扇形圆心角为$\theta$，则$l_{EF}=\frac{\theta}{360^\circ}×2\pi×2d$。
由$\pi d=\frac{\theta}{360^\circ}×4\pi d$，解得$\theta = 90^\circ$，即$\angle EAF = 90^\circ$。
等腰$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$，$AB = AC$，扇形$AEF$圆心角$\angle EAF = 90^\circ$，且$AE = AF = AD$，故$\angle BAC=\angle EAF = 90^\circ$。
(2)$ED = 5cm$，则母线$AD = 2×5 = 10cm$。
$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$AD$为斜边上的高，$AD=\frac{BC}{2}$，$BC = 2AD = 20cm$，面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×20×10 = 100cm^2$。
扇形$AEF$半径$AD = 10cm$，圆心角$90^\circ$，面积$S_{扇形}=\frac{90^\circ}{360^\circ}×\pi×10^2=25\pi cm^2$。
阴影部分面积$=100 - 25\pi cm^2$。
(1) $90^\circ$
(2) $100 - 25\pi$
