1. 如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果$\frac{AC}{AB}= \frac{BC}{AC}$,下列说法错误的是()
A.线段 AB 被点 C 黄金分割
B.C 叫作线段 AB 的黄金分割点
C.AB 与 AC 的比叫作黄金比
D.AC 与 AB 的比叫作黄金比

C

由题意知 $\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{AC}$，这是黄金分割的定义。
A. 根据黄金分割的定义，线段 $AB$ 被点 $C$ 黄金分割，所以 A 选项正确。
B. 点 $C$ 满足黄金分割的条件，因此 $C$ 叫作线段 $AB$ 的黄金分割点，B 选项正确。
C. 黄金比的定义是较长部分与整体的比值，即 $\frac{AC}{AB}$ 是黄金比，而不是 $AB$ 与 $AC$ 的比，所以 C 选项错误。
D. 根据黄金分割的定义，$\frac{AC}{AB}$ 正是黄金比，所以 D 选项正确。

2. 黄金比为()
A.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\sqrt{5}-1$
D.0.618

B

黄金分割的定义中，较长部分与整体部分的比值等于较短部分与较长部分的比值，其比值约为0.618，也可以用二次根式表示为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

3. 任意一条线段的黄金分割点有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个

B

黄金分割的定义是将一条线段分成两部分，使得较长的线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，这个比值约为0.618。对于任意一条线段，我们可以从线段的两端各找到一个满足黄金分割条件的点，因此任意一条线段有两个黄金分割点。

4. 已知 P 是线段 AB 上的黄金分割点,$AP＞PB$,$AB= 4\ cm$,则线段 $AP=$$cm$.

$2\sqrt{5}-2$

1. 已知黄金分割的定义，若点$P$是线段$AB$的黄金分割点，且$AP\gt PB$，则满足$\frac{AP}{PB}=\frac{AB}{AP}=\varphi$，其中$\varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。
2. 设$AP = x$，则$PB=4 - x$，由$\frac{AP}{PB}=\frac{AB}{AP}$可得$\frac{x}{4 - x}=\frac{4}{x}$。
3. 交叉相乘得到$x^{2}=4×(4 - x)$，即$x^{2}+4x - 16 = 0$。
4. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，在方程$x^{2}+4x - 16 = 0$中，$a = 1$，$b = 4$，$c=-16$。
5. 代入求根公式得$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4×1×(-16)}}{2×1}=\frac{-4\pm\sqrt{16 + 64}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{80}}{2}=\frac{-4\pm4\sqrt{5}}{2}=-2\pm2\sqrt{5}$。
6. 因为线段长度不能为负，且$AP\gt0$，所以舍去$x=-2 - 2\sqrt{5}$，得到$x = 2\sqrt{5}-2$。

5. 希腊的帕特农神庙的正面是一个黄金矩形,即矩形的两条邻边长度之比为黄金比.若已知黄金矩形的长等于 6,则这个黄金矩形的宽等于.

$3(\sqrt{5} - 1)$

设黄金矩形的宽为 $x$。
根据黄金比的定义，有：
$\frac{x}{6} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
解这个方程，我们得到：
$x = 6 × \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
$x = 3(\sqrt{5} - 1)$

6. 已知线段 $AB= 10\ cm$,C 是线段 AB 的黄金分割点.求线段 AC 的长.

当$AC ＞ BC$时：
根据黄金分割的定义，我们有：
$\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
代入已知的$AB = 10\ cm$，我们得到：
$AC = AB × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 10 × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 5\sqrt{5} - 5\ (cm)$
当$AC ＜ BC$时：
根据黄金分割的定义，我们有：
$\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
代入已知的$AB = 10\ cm$，我们得到：
$BC = 10 × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 5\sqrt{5} - 5\ (cm)$
接着，我们利用线段的长度关系求出$AC$：
$AC = AB - BC = 10 - (5\sqrt{5} - 5) = 15 - 5\sqrt{5}\ (cm)$
故线段$AC$的长度为$(5\sqrt{5} - 5)\ cm$或$(15 - 5\sqrt{5})\ cm$。

7. 如图,P 是线段 AB 的黄金分割点,且 $PA＞PB$,若$S_{1}$表示以 PA 为边的正方形的面积,$S_{2}$表示长为 AB、宽为 PB 的矩形的面积,那么$S_{1}$,$S_{2}的大小关系为S_{1}$$S_{2}$.(填“＞”“＜”或“=”)

=

∵P是线段AB的黄金分割点，且$PA＞PB$，
∴$PA^{2}=AB\cdot PB$。
∵$S_{1}$表示以PA为边的正方形的面积，
∴$S_{1}=PA^{2}$。
∵$S_{2}$表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，
∴$S_{2}=AB\cdot PB$。
∴$S_{1}=S_{2}$。
=