24. 类比和转化是数学中解决新的问题时常用的数学思想方法.
【回顾旧知,类比求解】
解方程：$\sqrt{x+1}= 2$.
解：去根号,两边同时平方得一元一次方程,解这个方程,得$x=$. 经检验,$x=$是原方程的解.
【学会转化,解决问题】
运用上面的方法解下列方程：
(1)$\sqrt{x-2}-3= 0$；
(2)$\sqrt{4x^{2}+5x}-2x= 1$.

【回顾旧知,类比求解】
去根号,两边同时平方得一元一次方程 $x+1=4$，解这个方程,得$x=3$。经检验,$x=3$是原方程的解.
【学会转化,解决问题】
(1) $\sqrt{x-2}-3=0$
移项得$\sqrt{x-2}=3$，两边平方得$x-2=9$，解得$x=11$。
检验：当$x=11$时，左边$\sqrt{11-2}-3=3-3=0$，右边=0，∴$x=11$是原方程的解.
(2) $\sqrt{4x^{2}+5x}-2x=1$
移项得$\sqrt{4x^{2}+5x}=2x+1$，两边平方得$4x^{2}+5x=(2x+1)^{2}$，即$4x^{2}+5x=4x^{2}+4x+1$，化简得$x=1$。
检验：当$x=1$时，左边$\sqrt{4×1^{2}+5×1}-2×1=3-2=1$，右边=1，∴$x=1$是原方程的解.

25. 如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是$Rt\triangle ABC和Rt\triangle BED$边长,易知$AE= \sqrt{2}c$,这时我们把关于x的形如$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b= 0$的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”. 请解答下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b= 0$必有实数根；
(3)若$x= -1$是“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b= 0$的一个根,且四边形ACDE的周长是6,求$\triangle ABC$的面积.

(1) 取勾股数 $a=3$, $b=4$, $c=5$，则“勾系一元二次方程”为 $3x^2 + 5\sqrt{2}x + 4 = 0$（答案不唯一）。
(2) 证明：对于方程 $ax^2 + \sqrt{2}cx + b = 0$，判别式 $\Delta = (\sqrt{2}c)^2 - 4ab = 2c^2 - 4ab$。
∵ $a,b,c$ 是直角三角形边长，∴ $a^2 + b^2 = c^2$。
∴ $\Delta = 2(a^2 + b^2) - 4ab = 2(a^2 - 2ab + b^2) = 2(a - b)^2 \geq 0$。
∴ 方程必有实数根。
(3) ∵ $x=-1$ 是方程的根，代入得 $a(-1)^2 + \sqrt{2}c(-1) + b = 0$，即 $a + b = \sqrt{2}c$。
四边形 $ACDE$ 周长：$AC + CD + DE + EA = b + (a + b) + a + \sqrt{2}c = 2(a + b) + \sqrt{2}c$。
∵ 周长为 6，且 $a + b = \sqrt{2}c$，∴ $2(\sqrt{2}c) + \sqrt{2}c = 3\sqrt{2}c = 6$，解得 $\sqrt{2}c = 2$，即 $c = \sqrt{2}$，$a + b = 2$。
∵ $a^2 + b^2 = c^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$，且 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，∴ $2^2 = 2 + 2ab$，解得 $ab = 1$。
∴ $\triangle ABC$ 面积：$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}$。
答案
(1) $3x^2 + 5\sqrt{2}x + 4 = 0$（答案不唯一）；
(2) 证明见上；
(3) $\frac{1}{2}$。