1. 若两个相似三角形的边长比为3:4,则它们的周长比为,面积比为.

3:4,9:16

相似三角形周长比等于边长比，面积比等于边长比的平方。边长比为3:4，故周长比为3:4，面积比为3²:4²=9:16。

2. 如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE//BC,AD= 2,AB= 5,则$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}$的值为.

$\frac{4}{25}$

∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD=2，AB=5，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
$\frac{4}{25}$

3. 已知△ABC的三边长分别为3,4,5,与它相似的△A'B'C'的最大边长为15,则△A'B'C'的面积为.

54

∵△ABC的三边长分别为3,4,5，且$3^2 + 4^2 = 5^2$，
∴△ABC是直角三角形，两直角边长为3,4，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}×3×4 = 6$。
∵△ABC与△A'B'C'相似，△ABC的最大边长为5，△A'B'C'的最大边长为15，
∴相似比为$\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$。
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，
∴$S_{△A'B'C'} = 9×S_{△ABC} = 9×6 = 54$。
54

4. 如图,把△ABC沿边AB平移到△A'B'C'的位置,它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半,若AB= $\sqrt{2}$,则此三角形移动的距离AA'= .

$\sqrt{2}-1$

设移动的距离 $ AA' = x $，则 $ A'B = AB - AA' = \sqrt{2} - x $。
因为平移，所以阴影部分三角形与 $ \triangle ABC $ 相似，相似比为 $ \frac{A'B}{AB} = \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}} $。
相似三角形面积比等于相似比的平方，已知阴影部分面积是 $ \triangle ABC $ 面积的一半，所以：
$\left( \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$
两边开平方得：
$\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
解得：
$\sqrt{2} - x = \frac{\sqrt{2} × \sqrt{2}}{2} = 1$
$x = \sqrt{2} - 1$
$\sqrt{2}-1$

5. 如图,在△ABC和△DEC中,∠A= ∠D,∠BCE= ∠ACD.
(1)求证:△ABC∽△DEC;
(2)若$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC}= 4:9$,BC= 6,求EC的长.

(1)证明：
∵$\angle BCE=\angle ACD$，
∴$\angle BCE+\angle ACE=\angle ACD+\angle ACE$，
即$\angle DCE=\angle ACB$，
又∵$\angle A=\angle D$，
∴根据相似三角形的判定条件角角相似，可得$\triangle ABC\sim\triangle DEC$。
(2)∵$\triangle ABC\sim\triangle DEC$，$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC}=4:9$，
∴根据相似三角形的性质，相似比的平方等于面积比，
即$(\frac{BC}{CE})^2=\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEC}}=\frac{4}{9}$，
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{2}{3}$，
∵$BC=6$，
∴$\frac{6}{CE}=\frac{2}{3}$，
解得$EC=9$。

6. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AB= $\sqrt{6}$,AC= 2,BE⊥AB于点B,D为射线BE上一点,连接AD,若△ABD与△ABC相似.
(1)求AD的长;
(2)请直接写出△ABD与△ABC的面积比.

(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=√6，AC=2，由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(6-4)=√2。
∵BE⊥AB，∴∠ABD=90°，△ABD为Rt△。
△ABD与△ABC相似，分两种情况：
①若△ABD∽△ACB，则AB/AC=AD/AB，AD=AB²/AC=6/2=3；
②若△ABD∽△BCA，则AB/BC=AD/AB，AD=AB²/BC=6/√2=3√2。
综上，AD的长为3或3√2。
(2)3:2或3:1。