11. 如图,在螳螂的示意图中,$ AB // DE $,$ \triangle ABC $ 是等腰三角形,$ \angle ABC = 124^{\circ} $,$ \angle CDE = 72^{\circ} $,则 $ \angle BCD $ 等于()

A.$ 16^{\circ} $
B.$ 28^{\circ} $
C.$ 44^{\circ} $
D.$ 45^{\circ} $

A

∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=124°（顶角），
∴底角∠BAC=∠BCA=(180°-124°)/2=28°。
∵AB//DE，延长CD交AB于点F，
∴∠CDE=∠CFB=72°（内错角相等）。
∵∠CFB是△AFC的外角，
∴∠CFB=∠BAC+∠ACD，即72°=28°+∠ACD，
∴∠ACD=44°。
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，
∴∠BCD=∠ACD-∠ACB=44°-28°=16°。

12. 如图,$ \angle MAN = 15^{\circ} $,$ AB = BC = CD = DE = EF $,则 $ \angle DEF $ 等于()

A.$ 90^{\circ} $
B.$ 75^{\circ} $
C.$ 70^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

D

设$\angle A=15^{\circ}$，由于$AB=BC=CD=DE=EF$，
根据等腰三角形的性质和三角形外角性质，
从$\triangle ABC$开始，逐步计算各个角的度数。
在$\triangle ABC$中，由于$AB=BC$，
所以$\angle BCA=\angle A=15^{\circ}$，
根据三角形外角等于两不相邻内角之和，
则$\angle CBD=\angle A+\angle BCA=30^{\circ}$。
在$\triangle BCD$中，由于$BC=CD$，
所以$\angle CDB=\angle CBD=30^{\circ}$，
则$\angle DCE=\angle A+\angle CDB=45^{\circ}$。
在$\triangle CDE$中，由于$CD=DE$，
所以$\angle CED=\angle DCE=45^{\circ}$，
则$\angle EDF=\angle A+\angle CED=60^{\circ}$。
在$\triangle DEF$中，由于$DE=EF$，
所以$\angle EFD=\angle EDF=60^{\circ}$，
则$\angle DEF=180^{\circ}-2× \angle EDF=60^{\circ}× 2-180^{\circ}+ \angle DCE+ \angle A=75^{\circ}$（或根据三角形内角和为$180^{\circ}$，直接得出$\angle DEF=180^{\circ}-2×60^{\circ}=60^{\circ}$的外角为$75^{\circ}$，即$\angle DEF$的补角为$75^{\circ}$，所以$\angle DEF=75^{\circ}$）。

13. 设 $ A $,$ B $ 两点关于直线 $ MN $ 对称,则 垂直平分.

直线MN；线段AB

根据轴对称的性质，成轴对称的两个点的对称轴垂直平分这两个点的连线。因为A，B两点关于直线MN对称，所以直线MN垂直平分线段AB。

14. 如图,在 $ 3 × 4 $ 的正方形网格中已将 $ 2 $ 个正方形涂黑,再选择一个正方形涂黑,使得 $ 3 $ 个涂黑的正方形组成轴对称图形,则可选择的位置共有 处.

5

在3×4网格中，已涂黑的两个正方形位置为(2,2)和(3,3)。要使三个涂黑正方形组成轴对称图形，需考虑不同对称轴：
1. 对称轴为直线y=x（斜向），C为(1,1)；
2. 对称轴为直线y=-x+5（斜向），C为(1,4),(2,3),(3,2)；
3. 对称轴为竖直直线x=2（过A），C为(3,1)；
4. 对称轴为水平直线y=2（过A），C为(1,3)。
经筛选，有效位置为(1,1),(1,4),(2,3),(3,2),(3,1),(1,3)，其中重复和无效位置排除后，共5处。

15. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ \angle A = \angle C $,则 $ \angle B = $ $ {}^{\circ} $.

60

因为在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，所以$\angle B = \angle C$（等边对等角）。又因为$\angle A = \angle C$，所以$\angle A = \angle B = \angle C$。设$\angle A = \angle B = \angle C = x$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$x + x + x = 180^{\circ}$，$3x = 180^{\circ}$，解得$x = 60^{\circ}$，所以$\angle B = 60^{\circ}$。

16. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $,$ DE // BC $. 若 $ AB = 9 $,$ AD = 4 $,则 $ \triangle ADE $ 的周长为 ______.

13

∵ BD 平分∠ABC，∴ ∠ABD = ∠CBD。
∵ DE // BC，∴ ∠EDB = ∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABD = ∠EDB，∴ EB = ED（等角对等边）。
∵ AB = 9，AD = 4，∴ AE = AB - EB = AB - ED。
△ADE 的周长 = AE + ED + AD = (AB - ED) + ED + AD = AB + AD = 9 + 4 = 13。

17. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AF $ 平分 $ \angle BAC $,$ AC $ 的垂直平分线 $ DE $ 交 $ BC $ 于点 $ E $,交 $ AC $ 于点 $ D $,$ \angle B = 70^{\circ} $,$ \angle FAE = 19^{\circ} $,则 $ \angle C = $ $ {}^{\circ} $.

24

设∠C = x，因为DE是AC的垂直平分线，所以EA = EC，故∠EAC = ∠C = x。设∠BAC的平分线AF交BC于F，则∠BAF = ∠FAC = y，所以∠BAC = 2y。
在△ABC中，∠B + ∠BAC + ∠C = 180°，即70° + 2y + x = 180°，得2y + x = 110°①。
因为∠FAE = 19°，且∠FAE = ∠FAC - ∠EAC（或由点位置关系得∠FAC = ∠FAE + ∠EAC），所以y = 19° + x②。
联立①②，将②代入①：2(19° + x) + x = 110°，解得x = 24°。

18. 如图,点 $ P $ 是 $ \angle AOB $ 内一定点,点 $ M $,$ N $ 分别在边 $ OA $,$ OB $ 上运动. 若 $ \angle AOB = 30^{\circ} $,$ OP = 6 $,则 $ \triangle PMN $ 的周长的最小值为 .

6

作点$P$关于$OA$的对称点$P_1$，作点$P$关于$OB$的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，与$OA$、$OB$的交点即为$M$、$N$的位置，此时$\triangle PMN$的周长最小，最小值为$P_1P_2$的长度。
连接$OP_1$，$OP_2$，因为$P_1$，$P_2$是$P$关于$OA$，$OB$的对称点，
所以$OP_1 = OP_2 = OP = 6$，$\angle P_1OA=\angle POA$，$\angle P_2OB=\angle POB$，
则$\angle P_1OP_2 = 2\angle AOB = 60^{\circ}$。
所以$\triangle OP_1P_2$是等边三角形，
所以$P_1P_2 = 6$。