1.下列垃圾分类的图标中,属于中心对称图形的是().

B

中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合。选项A、C、D旋转180°后均不重合，选项B旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形。

2.把点$P(x,y)$绕原点顺时针旋转$270^{\circ}$,点$P$的对应点的的坐标是().

A.$(y,-x)$
B.$(-x,-y)$
C.$(-y,x)$
D.$(x,y)$

C

将点$P(x,y)$绕原点顺时针旋转$270^{\circ}$，等价于绕原点逆时针旋转$90^{\circ}$。根据旋转规律，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转$90^{\circ}$后坐标变为$(-y,x)$。验证：取点$(1,0)$，顺时针旋转$270^{\circ}$后对应点为$(0,1)$，代入$(-y,x)$得$(-0,1)=(0,1)$，正确；取点$(0,1)$，顺时针旋转$270^{\circ}$后对应点为$(-1,0)$，代入$(-y,x)$得$(-1,0)$，正确。故对应点坐标为$(-y,x)$。

3.在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$坐标为$(3,4)$,$AB$垂直于$x$轴,垂足为点$B$,将$\triangle OAB$绕点$B$顺时针旋转$90^{\circ}$,则点$A$的坐标是().

A.$(1,0)$
B.$(-1,0)$
C.$(-7,0)$
D.$(7,0)$

D

∵AB垂直于x轴，垂足为B，A(3,4)，∴B(3,0)，AB=4。将△OAB绕点B顺时针旋转90°，则BA'=BA=4，且BA'⊥BA。∵BA⊥x轴（向上），顺时针旋转90°后BA'沿x轴正方向，∴A'的坐标为(3+4,0)=(7,0)。

4.如图,$CA\perp$直线$l$于点$A$,$CA=4$,点$B$是直线$l$上一动点,以$CB$为边向上作等边$\triangle MBC$,连接$MA$,则$MA$的最小值为().


A.1
B.2
C.3
D.4

B

以直线$l$为$x$轴，$A$为原点建立坐标系，则$A(0,0)$，$C(0,4)$，设$B(t,0)$。以$CB$为边作等边$\triangle MBC$，将点$B$绕$C$旋转$60°$得$M$。利用坐标法求得$M$坐标，计算$MA$距离，通过二次函数求最值或几何旋转转化，得$MA$最小值为$2$。

5.如图,在平面直角坐标系中,将边长为$a$的正方形$OABC$绕点$O$顺时针旋转$45^{\circ}$后得到正方形$OA_{1}B_{1}C_{1}$,依此方式连续旋转$2021$次得到正方形$OA_{2021}B_{2021}C_{2021}$,那么点$A_{2021}$的坐标是
().


A.$(\frac{\sqrt{2}}{2}a,\frac{\sqrt{2}}{2}a)$
B.$(\frac{\sqrt{2}}{2}a,-\frac{\sqrt{2}}{2}a)$
C.$(-\frac{\sqrt{2}}{2}a,-\frac{\sqrt{2}}{2}a)$
D.$(-\frac{\sqrt{2}}{2}a,\frac{\sqrt{2}}{2}a)$

D

初始点A坐标为(a,0)。每次绕O顺时针旋转45°，点A坐标变化周期为8次（360°/45°=8）。旋转n次后坐标规律：
n=0：(a,0)；n=1：(√2/2 a,-√2/2 a)；n=2：(0,-a)；n=3：(-√2/2 a,-√2/2 a)；n=4：(-a,0)；n=5：(-√2/2 a,√2/2 a)；n=6：(0,a)；n=7：(√2/2 a,√2/2 a)；n=8：(a,0)。
2021÷8=252……5，余数为5，对应n=5时坐标(-√2/2 a,√2/2 a)。