13.(8分)如图,已知四边形$ABCD,\angle ABC=90^{\circ},\angle ADC=90^{\circ},AB=6,CD=4,BC$的延长线与$AD$的延长线交于点$E$.
$(1)$若$\angle A=60^{\circ}$,求$BC$的长.
$(2)$若$\mathrm{sin} A=\frac{4}{5}$,求$AD$的长.

(1)$6\sqrt{3}-8$；(2)$\frac{14}{3}$

(1)
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle ABC=90°$，$\angle A=60°$，$AB=6$，
$\tan\angle A=\frac{BE}{AB}\Rightarrow \tan60°=\frac{BE}{6}\Rightarrow BE=6\sqrt{3}$，
$\angle E=30°$（三角形内角和）。
在$Rt\triangle CDE$中，$\angle CDE=90°$，$\angle E=30°$，$CD=4$，
$\sin\angle E=\frac{CD}{CE}\Rightarrow \sin30°=\frac{4}{CE}\Rightarrow CE=8$。
$\because E$在$BC$延长线上，$\therefore CE=BE-BC\Rightarrow BC=BE-CE=6\sqrt{3}-8$。
(2)
在$Rt\triangle ABE$中，$\sin A=\frac{4}{5}$，设$BE=4k$，$AE=5k$，
由勾股定理$AB=\sqrt{AE^2-BE^2}=3k$，$AB=6\Rightarrow 3k=6\Rightarrow k=2$，
$\therefore AE=10$，$BE=8$。
$\because \triangle ABE\sim\triangle CDE$（$\angle E$公共，直角），相似比$\frac{AB}{CD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，
$\frac{AE}{CE}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{10}{CE}=\frac{3}{2}\Rightarrow CE=\frac{20}{3}$，
$\frac{BE}{DE}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{8}{DE}=\frac{3}{2}\Rightarrow DE=\frac{16}{3}$。
$\therefore AD=AE-DE=10-\frac{16}{3}=\frac{14}{3}$。

14.(8分)如图,已知$\triangle ABC$,以$AB$为直径的$\odot O$交$AC$于点$D$,连接$BD,\angle CBD$的平分线交$\odot O$于点$E$,交$AC$于点$F$,且$AF=AB$.
$(1)$判断$BC$所在的直线与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
$(2)$若$\mathrm{tan} \angle FBC=\frac{1}{3},DF=2$,求$\odot O$的半径.

(1)相切；(2)5。

(1) BC所在直线与⊙O相切。理由如下：
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，即∠BDC=90°。
∵BE平分∠CBD，∴∠CBF=∠DBF。
∵AF=AB，∴∠ABF=∠AFB。
∵∠AFB=∠DBF+∠ADB=∠DBF+90°，∠ABF=∠ABD+∠DBF，
∴∠ABD+∠DBF=∠DBF+90°，得∠ABD=90°。
∵AB为直径且AB⊥BC，∴BC是⊙O切线。
(2) 设⊙O半径为r，则AB=2r，AF=AB=2r。
∵∠BDC=90°，BE平分∠CBD，tan∠FBC=1/3，DF=2，
在Rt△BDF中，∠BDF=90°，tan∠DBF=DF/BD=1/3，
∵DF=2，∴2/BD=1/3，得BD=6。
∵AD=AF-DF=2r-2，在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，
∴(2r-2)²+6²=(2r)²，解得r=5。