登录
13.(8分)如图,在钝角$\bigtriangleup ABC$中,$AB=6$cm,$AC=12$cm,动点$D$从点$A$出发,到点$B$停止.动点$E$从点$C$出发,到点$A$停止.点$D$运动的速度为$1$cm/s,点$E$运动的速度为$2$cm/s.如果两点同时运动,那么当以点$A,D,E$为顶点的三角形与$\bigtriangleup ABC$相似时,运动的时间是多长?
答案
解：设运动时间为$ t $秒，其中$ 0 \leq t \leq 6 $（$ D $到$ B $需6秒，$ E $到$ A $需6秒）。
由题意得：$ AD = t \, cm $，$ AE = AC - CE = 12 - 2t \, cm $。
$ \triangle ADE $与$ \triangle ABC $有公共角$ \angle DAE = \angle BAC $，分两种情况讨论：
情况1：$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $
即$ \frac{t}{6} = \frac{12 - 2t}{12} $
化简得：$ \frac{t}{6} = \frac{6 - t}{6} $
解得：$ t = 6 - t \Rightarrow t = 3 $
$ t = 3 $在$ 0 \leq t \leq 6 $范围内，成立。
情况2：$ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} $
即$ \frac{t}{12} = \frac{12 - 2t}{6} $
化简得：$ t = 4(6 - t) \Rightarrow t = 24 - 4t \Rightarrow 5t = 24 \Rightarrow t = \frac{24}{5} = 4.8 $
$ t = 4.8 $在$ 0 \leq t \leq 6 $范围内，成立。
综上，运动时间为$ 3 \, s $或$ \frac{24}{5} \, s $。
答案：$ 3 \, s $或$ \frac{24}{5} \, s $
由题意得：$ AD = t \, cm $，$ AE = AC - CE = 12 - 2t \, cm $。
$ \triangle ADE $与$ \triangle ABC $有公共角$ \angle DAE = \angle BAC $，分两种情况讨论：
情况1：$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $
即$ \frac{t}{6} = \frac{12 - 2t}{12} $
化简得：$ \frac{t}{6} = \frac{6 - t}{6} $
解得：$ t = 6 - t \Rightarrow t = 3 $
$ t = 3 $在$ 0 \leq t \leq 6 $范围内，成立。
情况2：$ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} $
即$ \frac{t}{12} = \frac{12 - 2t}{6} $
化简得：$ t = 4(6 - t) \Rightarrow t = 24 - 4t \Rightarrow 5t = 24 \Rightarrow t = \frac{24}{5} = 4.8 $
$ t = 4.8 $在$ 0 \leq t \leq 6 $范围内，成立。
综上，运动时间为$ 3 \, s $或$ \frac{24}{5} \, s $。
答案：$ 3 \, s $或$ \frac{24}{5} \, s $
解析
解：设运动时间为$ t $秒，其中$ 0 \leq t \leq 6 $（$ D $到$ B $需6秒，$ E $到$ A $需6秒）。
由题意得：$ AD = t \, cm $，$ AE = AC - CE = 12 - 2t \, cm $。
$ \triangle ADE $与$ \triangle ABC $有公共角$ \angle DAE = \angle BAC $，分两种情况讨论：
情况1：$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $
即$ \frac{t}{6} = \frac{12 - 2t}{12} $
化简得：$ \frac{t}{6} = \frac{6 - t}{6} $
解得：$ t = 6 - t \Rightarrow t = 3 $
$ t = 3 $在$ 0 \leq t \leq 6 $范围内，成立。
情况2：$ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} $
即$ \frac{t}{12} = \frac{12 - 2t}{6} $
化简得：$ t = 4(6 - t) \Rightarrow t = 24 - 4t \Rightarrow 5t = 24 \Rightarrow t = \frac{24}{5} = 4.8 $
$ t = 4.8 $在$ 0 \leq t \leq 6 $范围内，成立。
综上，运动时间为$ 3 \, s $或$ \frac{24}{5} \, s $。
由题意得：$ AD = t \, cm $，$ AE = AC - CE = 12 - 2t \, cm $。
$ \triangle ADE $与$ \triangle ABC $有公共角$ \angle DAE = \angle BAC $，分两种情况讨论：
情况1：$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $
即$ \frac{t}{6} = \frac{12 - 2t}{12} $
化简得：$ \frac{t}{6} = \frac{6 - t}{6} $
解得：$ t = 6 - t \Rightarrow t = 3 $
$ t = 3 $在$ 0 \leq t \leq 6 $范围内，成立。
情况2：$ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} $
即$ \frac{t}{12} = \frac{12 - 2t}{6} $
化简得：$ t = 4(6 - t) \Rightarrow t = 24 - 4t \Rightarrow 5t = 24 \Rightarrow t = \frac{24}{5} = 4.8 $
$ t = 4.8 $在$ 0 \leq t \leq 6 $范围内，成立。
综上，运动时间为$ 3 \, s $或$ \frac{24}{5} \, s $。
14.(8分)如图,在四边形$ABCD$中,$AC$平分$\angle DAB$,$\angle ADC=\angle ACB=90°$,$E$为$AB$的中点.
(1)求证:$AC^2=AB· AD$.
(2)求证:$CE// AD$.
(3)若$AD=4,AB=6$,求$\frac{AC}{AF}$的值.
(1)求证:$AC^2=AB· AD$.
(2)求证:$CE// AD$.
(3)若$AD=4,AB=6$,求$\frac{AC}{AF}$的值.
答案
（1）证明$AC^{2}=AB· AD$：
解：
因为$AC$平分$\angle DAB$，所以$\angle DAC = \angle CAB$。
又因为$\angle ADC=\angle ACB = 90^{\circ}$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ADC\sim\triangle ACB$。
由相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，即$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$。
交叉相乘可得$AC^{2}=AB· AD$。
（2）证明$CE// AD$：
解：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$E$为$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$CE=\frac{1}{2}AB = AE$。
则$\angle EAC=\angle ECA$。
又因为$AC$平分$\angle DAB$，所以$\angle DAC=\angle EAC$。
所以$\angle DAC=\angle ECA$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$CE// AD$。
（3）求$\frac{AC}{AF}$的值：
解：
已知$AD = 4$，$AB = 6$，由（1）知$AC^{2}=AB· AD$，则$AC^{2}=6×4 = 24$，所以$AC = 2\sqrt{6}$。
因为$CE// AD$，所以$\triangle ADF\sim\triangle CEF$。
则$\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$。
又因为$CE=\frac{1}{2}AB = 3$（$E$为$AB$中点，$AB = 6$），设$AF=x$，$CF = 2\sqrt{6}-x$。
由$\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$，即$\frac{4}{3}=\frac{x}{2\sqrt{6}-x}$。
交叉相乘得：$4(2\sqrt{6}-x)=3x$。
展开得：$8\sqrt{6}-4x = 3x$。
移项得：$7x = 8\sqrt{6}$，$x=\frac{8\sqrt{6}}{7}$。
所以$\frac{AC}{AF}=\frac{2\sqrt{6}}{\frac{8\sqrt{6}}{7}}=\frac{7}{4}$。
综上，（1）得证$AC^{2}=AB· AD$；（2）得证$CE// AD$；（3）$\frac{AC}{AF}$的值为$\frac{7}{4}$。
解：
因为$AC$平分$\angle DAB$，所以$\angle DAC = \angle CAB$。
又因为$\angle ADC=\angle ACB = 90^{\circ}$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ADC\sim\triangle ACB$。
由相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，即$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$。
交叉相乘可得$AC^{2}=AB· AD$。
（2）证明$CE// AD$：
解：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$E$为$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$CE=\frac{1}{2}AB = AE$。
则$\angle EAC=\angle ECA$。
又因为$AC$平分$\angle DAB$，所以$\angle DAC=\angle EAC$。
所以$\angle DAC=\angle ECA$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$CE// AD$。
（3）求$\frac{AC}{AF}$的值：
解：
已知$AD = 4$，$AB = 6$，由（1）知$AC^{2}=AB· AD$，则$AC^{2}=6×4 = 24$，所以$AC = 2\sqrt{6}$。
因为$CE// AD$，所以$\triangle ADF\sim\triangle CEF$。
则$\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$。
又因为$CE=\frac{1}{2}AB = 3$（$E$为$AB$中点，$AB = 6$），设$AF=x$，$CF = 2\sqrt{6}-x$。
由$\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$，即$\frac{4}{3}=\frac{x}{2\sqrt{6}-x}$。
交叉相乘得：$4(2\sqrt{6}-x)=3x$。
展开得：$8\sqrt{6}-4x = 3x$。
移项得：$7x = 8\sqrt{6}$，$x=\frac{8\sqrt{6}}{7}$。
所以$\frac{AC}{AF}=\frac{2\sqrt{6}}{\frac{8\sqrt{6}}{7}}=\frac{7}{4}$。
综上，（1）得证$AC^{2}=AB· AD$；（2）得证$CE// AD$；（3）$\frac{AC}{AF}$的值为$\frac{7}{4}$。
