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1.函数$y=ax^2-2x + 1$和$y = ax - a(a$是常数,且$a\neq0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
B
)。答案
B
解析
要判断函数 $ y = ax^2 - 2x + 1 $ 和 $ y = ax - a $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能情况，需要分析参数 $ a $ 的取值对两个函数图象的影响。
对于 $ y = ax - a $：
当 $ a ＞ 0 $ 时，斜率为正，图象为一条上升的直线，且当 $ x = 1 $ 时，$ y = 0 $，即直线过点 $ (1,0) $。
当 $ a ＜ 0 $ 时，斜率为负，图象为一条下降的直线，同样过点 $ (1,0) $。
对于 $ y = ax^2 - 2x + 1 $：
这是一个二次函数，其开口方向由 $ a $ 决定。
当 $ a ＞ 0 $ 时，开口向上；当 $ a ＜ 0 $ 时，开口向下。
其对称轴为 $ x = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a} $，顶点坐标为 $ \left(\frac{1}{a}, 1 - \frac{1}{a}\right) $。
分析选项：
A 选项：二次函数开口向上，一次函数斜率为正，且过点 $ (1,0) $，符合 $ a ＞ 0 $ 的情况，但二次函数对称轴 $ x = \frac{1}{a} ＞ 0 $，而图中对称轴在 $ y $ 轴左侧，矛盾。
B 选项：二次函数开口向上，一次函数斜率为正，且过点 $ (1,0) $，符合 $ a ＞ 0 $ 的情况，二次函数对称轴 $ x = \frac{1}{a} ＞ 0 $，图中对称轴在 $ y $ 轴右侧，符合。
C 选项：二次函数开口向下，一次函数斜率为负，符合 $ a ＜ 0 $ 的情况，但一次函数不过点 $ (1,0) $，矛盾。
D 选项：二次函数开口向下，一次函数斜率为正，矛盾。
因此，只有 B 选项符合条件。
对于 $ y = ax - a $：
当 $ a ＞ 0 $ 时，斜率为正，图象为一条上升的直线，且当 $ x = 1 $ 时，$ y = 0 $，即直线过点 $ (1,0) $。
当 $ a ＜ 0 $ 时，斜率为负，图象为一条下降的直线，同样过点 $ (1,0) $。
对于 $ y = ax^2 - 2x + 1 $：
这是一个二次函数，其开口方向由 $ a $ 决定。
当 $ a ＞ 0 $ 时，开口向上；当 $ a ＜ 0 $ 时，开口向下。
其对称轴为 $ x = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a} $，顶点坐标为 $ \left(\frac{1}{a}, 1 - \frac{1}{a}\right) $。
分析选项：
A 选项：二次函数开口向上，一次函数斜率为正，且过点 $ (1,0) $，符合 $ a ＞ 0 $ 的情况，但二次函数对称轴 $ x = \frac{1}{a} ＞ 0 $，而图中对称轴在 $ y $ 轴左侧，矛盾。
B 选项：二次函数开口向上，一次函数斜率为正，且过点 $ (1,0) $，符合 $ a ＞ 0 $ 的情况，二次函数对称轴 $ x = \frac{1}{a} ＞ 0 $，图中对称轴在 $ y $ 轴右侧，符合。
C 选项：二次函数开口向下，一次函数斜率为负，符合 $ a ＜ 0 $ 的情况，但一次函数不过点 $ (1,0) $，矛盾。
D 选项：二次函数开口向下，一次函数斜率为正，矛盾。
因此，只有 B 选项符合条件。
2.关于二次函数$y = 2x^2 + 4x - 1$,下列说法正确的是(
A.图象与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$
B.图象的对称轴在$y$轴的右侧
C.当$x＜0$时,$y$的值随$x$值的增大而减小
D.$y$的最小值为$-3$
D
)。A.图象与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$
B.图象的对称轴在$y$轴的右侧
C.当$x＜0$时,$y$的值随$x$值的增大而减小
D.$y$的最小值为$-3$
答案
D
解析
对于二次函数$y = 2x^2 + 4x - 1$，
A. 与$y$轴交点：令$x = 0$，得$y = -1$，交点为$(0, -1)$，与选项A的$(0,1)$不符，故A错误。
B. 对称轴：由二次函数性质，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 × 2} = -1$，因为$-1 ＜ 0$，对称轴在$y$轴左侧，故B错误。
C. 由于$a=2＞0$，当$x ＜ -1$时（即对称轴左侧），$y$随$x$增大而减小，但题目中$x＜0$包含了对称轴右侧部分（$-1＜x＜0$），在该区间$y$随$x$增大而增大，描述不准确，故C错误。
D. 最小值：由二次函数性质，最小值为$\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 × 2 × (-1) - 4^2}{4 × 2} = \frac{-8 - 16}{8} = -3$，与选项D一致，故D正确。
A. 与$y$轴交点：令$x = 0$，得$y = -1$，交点为$(0, -1)$，与选项A的$(0,1)$不符，故A错误。
B. 对称轴：由二次函数性质，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 × 2} = -1$，因为$-1 ＜ 0$，对称轴在$y$轴左侧，故B错误。
C. 由于$a=2＞0$，当$x ＜ -1$时（即对称轴左侧），$y$随$x$增大而减小，但题目中$x＜0$包含了对称轴右侧部分（$-1＜x＜0$），在该区间$y$随$x$增大而增大，描述不准确，故C错误。
D. 最小值：由二次函数性质，最小值为$\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 × 2 × (-1) - 4^2}{4 × 2} = \frac{-8 - 16}{8} = -3$，与选项D一致，故D正确。
3.将抛物线$y = -5x^2 + 1$向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为(
A.$y = -5(x + 1)^2-1$
B.$y = -5(x - 1)^2-1$
C.$y = -5(x + 1)^2 + 3$
D.$y = -5(x - 1)^2 + 3$
A
)。A.$y = -5(x + 1)^2-1$
B.$y = -5(x - 1)^2-1$
C.$y = -5(x + 1)^2 + 3$
D.$y = -5(x - 1)^2 + 3$
答案
A
解析
原抛物线为$y = -5x^2 + 1$，顶点坐标为$(0,1)$，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，新顶点坐标为$(-1,-1)$，平移后的抛物线方程为$y = -5(x + 1)^2 - 1$。
4.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是(
A.此抛物线的解析式是$y =-\frac{1}{5}x^2 + 3.5$
B.篮圈中心的坐标是$(4,3.05)$
C.此抛物线的顶点坐标是$(3.5,0)$
D.篮球出手时离地面的高度是2 m
A
)。A.此抛物线的解析式是$y =-\frac{1}{5}x^2 + 3.5$
B.篮圈中心的坐标是$(4,3.05)$
C.此抛物线的顶点坐标是$(3.5,0)$
D.篮球出手时离地面的高度是2 m
答案
A
解析
由题意知抛物线顶点为最高点，最大高度3.5m，故顶点纵坐标为3.5，排除C（顶点坐标(3.5,0)错误）。设抛物线顶点坐标为(0,3.5)（对称轴为y轴，符合九年级知识简化），则解析式可设为$y = ax^2 + 3.5$。
“水平距离2.5m达最大高度”即顶点到起跳点水平距离2.5m，起跳点在顶点左侧$x=-2.5$处；“起跳点距篮圈水平距离4m”，故顶点到篮圈水平距离为$4 - 2.5 = 1.5m$，篮圈横坐标为$x=1.5$，坐标为(1.5, 3.05)，排除B（篮圈坐标(4,3.05)错误）。
将篮圈坐标(1.5, 3.05)代入解析式：$3.05 = a(1.5)^2 + 3.5$，解得$a = -0.2 = -\frac{1}{5}$，故解析式为$y = -\frac{1}{5}x^2 + 3.5$，A正确。
出手高度即起跳点$x=-2.5$时的y值：$y = -\frac{1}{5}(-2.5)^2 + 3.5 = 2.25m ≠ 2m$，排除D。
“水平距离2.5m达最大高度”即顶点到起跳点水平距离2.5m，起跳点在顶点左侧$x=-2.5$处；“起跳点距篮圈水平距离4m”，故顶点到篮圈水平距离为$4 - 2.5 = 1.5m$，篮圈横坐标为$x=1.5$，坐标为(1.5, 3.05)，排除B（篮圈坐标(4,3.05)错误）。
将篮圈坐标(1.5, 3.05)代入解析式：$3.05 = a(1.5)^2 + 3.5$，解得$a = -0.2 = -\frac{1}{5}$，故解析式为$y = -\frac{1}{5}x^2 + 3.5$，A正确。
出手高度即起跳点$x=-2.5$时的y值：$y = -\frac{1}{5}(-2.5)^2 + 3.5 = 2.25m ≠ 2m$，排除D。
